Теорема подстановки: пошаговое руководство с практическим примером

Анализ и решение электрических цепей с помощью теоремы подстановки

Теорема подстановки

Как следует из названия, теорема подстановки позволяет заменить один элемент цепи другим, при условии, что поведение цепи не изменится (токи и напряжения во всех ветвях останутся прежними).

Теорема подстановки гласит:

Если известны ток через ветвь и напряжение на ней, эту ветвь можно заменить любым другим элементом (источником напряжения, источником тока, резистором и т.д.), сохраняющим те же ток и напряжение. Начальные условия остаются неизменными.

Теорема не применяется, если в цепи более двух источников, соединенных последовательно или параллельно.

Объяснение теоремы подстановки

Теорема подстановки — замена любой ветви сети эквивалентной ветвью с другими элементами. Если ветвь заменяется источником напряжения или тока, соответствующим исходному напряжению и току этой ветви, поведение сети не меняется.

Рассмотрим сеть: источник 15 В, два резистора 5 Ом и 10 Ом последовательно.

Единственный контур → ток везде одинаков. По КВУ: 15 = 5I + 10I → I = 1 А.

Напряжения на резисторах (делитель напряжения):

• U_5Ω = 15 × 5/(5+10) = 5 В
• U_10Ω = 15 × 10/(5+10) = 10 В

Подстановка 1

Заменяем ветвь 10 Ом на источник напряжения 10 В (полярность совпадает с падением напряжения).

КВУ: +15 – 10 = 5I → I = 1 А. Ток неизменен.

Напряжение на замененной ветви = 10 В (источник). На 5 Ом: U = 1×5 = 5 В. Все токи и напряжения совпадают с исходными.

Подстановка 2

Заменяем ветвь 5 Ом на источник 5 В.

КВУ: +15 – 5 = 10I → I = 1 А.

Напряжение на замененной ветви = 5 В. На 10 Ом: U = 1×10 = 10 В. Поведение сети не изменилось.

Подстановка 3

Заменяем ветвь 10 Ом на источник тока 1 А.

Источник тока задает ток контура = 1 А (совпадает).

Напряжение на 5 Ом: U = 1×5 = 5 В.

Напряжение на источнике тока: +15 – 5 – V = 0 → V = 10 В. Все параметры совпадают.

Подстановка 4

Заменяем ветвь 10 Ом на последовательную связку 5 Ом + 5 В.

КВУ: 15 – 5 = 5I + 5I → 10 = 10I → I = 1 А.

U на 5 Ом (исходном) = 5 В. U на новой ветви (A-B): 5 В (источник) + 5 В (на 5 Ом) = 10 В. Поведение сохранено.

Вывод: существует множество способов подстановки без изменения поведения сети.

Шаги решения сети с помощью теоремы подстановки

1. Найти напряжения и токи всех элементов (ККУ, КВУ, закон Ома).
2. Выбрать ветвь для замены.
3. Подобрать параметры заменяющего элемента (U, I, R) так, чтобы ток и напряжение на ветви не изменились.
4. Проверить новую схему: пересчитать токи и напряжения, сравнить с исходной.

Пример и решение

Решить сеть теоремой подстановки, найти токи и напряжения во всех резисторах.

Шаг 1: Найдем токи и напряжения исходной схемы.

Два контура. КВУ для контура 1: 14 = 6I₁ – 4I₂ … (1)

КВУ для контура 2: 0 = 12I₂ – 4I₁ → I₁ = 3I₂ … (2)

Подставляем (2) в (1): 14 = 18I₂ – 4I₂ = 14I₂ → I₂ = 1 А.

I₁ = 3 А. Ток через 4 Ом: I₁ – I₂ = 2 А.

Шаг 2: Убираем ветви контура 1, оставляем контур 2.

Шаг 3: Заменяем ветвь 4 Ом на источник тока 1 А (ток контура 2).

Оставшаяся схема: источник 1 А, резисторы 3 Ом и 5 Ом последовательно.

Шаг 4: Проверка.

Ток контура = току источника = 1 А (совпадает с I₂ исходной схемы).

U_3Ω = 1×3 = 3 В. U_5Ω = 1×5 = 5 В. Все совпадает.

Альтернатива: замена на источник напряжения.

Напряжение на 4 Ом в исходной схеме: U = 2 А × 4 Ом = 8 В.

Схема: источник 8 В, 3 Ом, 5 Ом последовательно.

КВУ: 8 = 3I + 5I → I = 1 А.

U_3Ω = 3 В, U_5Ω = 5 В. Совпадает.