Иллюстрация сложения переменных напряжений с помощью комплексных чисел

В этом руководстве мы рассматриваем, как три источника переменного тока (AC) в последовательном соединении комбинируются, используя арифметику комплексных чисел для определения результирующего напряжения. Подход демонстрирует, что все знакомые законы цепей постоянного тока — закон Ома, законы Кирхгофа по напряжениям и токам, методы анализа сетей — переносятся на AC-анализ при условии, что все величины выражены в фазорной (комплексной) форме и все источники работают на одной частоте.

Начнём с расположения трёх источников, как показано на диаграмме ниже. Знаки полярности выбраны так, чтобы направления фазоров складывались напрямую, позволяя записать полное напряжение как простую векторную сумму:

Закон Кирхгофа по напряжениям позволяет складывать комплексные напряжения.

Хотя частота не задана явно, неявно подразумевается, что все три источника имеют одинаковую частоту. Это удовлетворяет требованию постоянства фазовых отношений, позволяя применять правила в стиле DC.

Алгебраическое выражение для полного напряжения:

V_total = V₁ + V₂ + V₃

Графически фазорное сложение проиллюстрировано на рисунке ниже.

Графическое сложение векторов напряжений.

Результирующий вектор начинается у начала 22-В источника и заканчивается на конце 15-В источника, как показано на следующем рисунке.

Результирующий вектор эквивалентен векторной сумме трёх исходных напряжений.

Для вычисления модуля и фазы результирующего без диаграммы преобразуем каждый полярный фазор в прямоугольную форму, сложим и вернёмся в полярную. Расчёт даёт:

V_total = 36.8052 В ∠ –20.5018°

Практически вольтметр покажет только модуль 36.8052 В, а осциллограф позволит определить сдвиг фазы –20.5018° относительно 15-В опорного источника. Тоже справедливо для амперметров переменного тока, показывающих модуль тока, но не его фазу.

Прямоугольное представление удобно для арифметики, но не имеет прямого измерительного аналога; поэтому итоговый результат обычно возвращают в полярную форму для сравнения с реальными приборами.

Для проверки запустим SPICE-симуляцию. Резистор 10 кОм добавлен лишь чтобы избежать ошибки разомкнутой цепи. Частота 60 Гц выбрана произвольно, так как резисторы не зависят от частоты, в отличие от конденсаторов и катушек.

Схема для SPICE.

v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

Симуляция подтверждает аналитический результат: 36.81 В ∠ –20.5°. Этот контр-интуитивный результат — чуть более 36 В от источников 15 В, 12 В и 22 В в последовательном соединении — иллюстрирует, как фазовые отношения вызывают конструктивную или деструктивную интерференцию в цепях переменного тока.

Теперь рассмотрим эффект обращения полярности 12-В источника. Перестановка выводов меняет направление вектора, но не номинальный угол фазы; математически это можно выразить либо добавлением 180° к углу (12 В ∠ 215°), либо отрицанием модуля (–12 В ∠ 35°). Оба подхода дают одинаковый прямоугольный результат:

В прямоугольной форме новая сумма:

V_total = 30.4964 В ∠ –60.9368°

Проверка SPICE:

ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 1 2 ac 12 35 sin ; reversal of node numbers 2 and 1
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

Резюме

• Все законы цепей постоянного тока применимы к цепям переменного тока — за исключением расчётов мощности — при условии, что все переменные в комплексной форме и имеют общую частоту.
• Обращение полярности AC-источника можно выразить либо добавлением 180° к углу, либо отрицанием модуля.
• Измеренные значения в цепях AC соответствуют полярным модулям вычисленных фазоров; прямоугольные значения полезны только для промежуточных алгебраических шагов.

Связанные рабочие листы

• Рабочий лист по анализу AC-сетей
• Рабочий лист по законам Кирхгофа
• Рабочий лист по закону Ома