Теорема Миллмана: пошаговый анализ цепей AC и DC с практическими примерами

Теорема Миллмана для цепей AC и DC — пошаговые решенные примеры

Теорема Миллмана

Теорема Миллмана применяется в анализе цепей, имеющих только параллельные ветви. Позволяет рассчитать напряжение на концах цепи. Применима только к цепям с параллельной сетью.

Теорема Миллмана — комбинация теоремы Тевенена и теоремы Нортона. Иногда называется теоремой параллельных генераторов. Предложена профессором электротехники Джэкобом Миллманом, отсюда название.

Теорема Миллмана утверждает:

Можно найти напряжение на параллельных ветвях данной сети. Теорема упрощает анализ сети при множестве источников, соединенных как на рисунке ниже.

По теореме Миллмана напряжение на нагрузке:

• Связанный материал: Теорема Тевенена. Пошаговое руководство с примером

Математическое уравнение

Как показано выше, цепь имеет n источников напряжения (E₁, E₂, E₃, …, E_n). Внутренние сопротивления источников — R₁, R₂, R₃, …, R_n. По теореме Миллмана любую цепь можно заменить эквивалентной схемой ниже. На рисунке эквивалентная схема Миллмана.

Нужно найти значение источника напряжения (E) и эквивалентное сопротивление (R). Схема похожа на эквивалент Тевенена. Значит, источник напряжения (E) = эквивалентное напряжение Тевенена (V_TH), эквивалентное сопротивление = эквивалентное сопротивление Тевенена (R_TH).

Для удобства расчетов найдем эквивалентную схему Нортона — сделаем преобразование источников. Преобразуем все источники напряжения в источники тока.

Внутреннее сопротивление последовательно с источником напряжения. После преобразования источник напряжения становится источником тока, а внутреннее сопротивление — параллельно источнику тока. Цепь преобразуется как на рисунке ниже.

По закону Ома значения источников тока: E₁/R₁, E₂/R₂, E₃/R₃, …, E_n/R_n. Для нахождения эквивалентного тока Нортона (I_N) замыкаем клеммы нагрузки и находим ток в этой ветви.

В узле A₁ ток делится на два пути: через R₁ и через замыкание. Ток течет по пути наименьшего сопротивления — весь ток идет через замыкание, ток через R₁ = 0.

То же для всех источников в узлах A₂, A₃, …, A_n. Ток через все резисторы = 0.

В узле A₂ к току от A₁ добавляется ток следующего источника. В A₃ — от A₂ и т.д. В узле A_n суммируются токи от всех узлов. Общий ток = сумма всех токов = ток Нортона (I_N).

Нашли ток Нортона. Теперь эквивалентное сопротивление Нортона. Убираем все источники энергии: источники тока — размыкаем, источники напряжения — замыкаем.

На рисунке только источники тока. Убираем их размыканием. Убираем нагрузку для расчета эквивалентного сопротивления. Остается схема ниже.

Все резисторы параллельно. Параллельное соединение = эквивалентное сопротивление.

R_eq = R_N = R₁ || R₂ || R₃ … || R_n

Подставим в эквивалентную схему Нортона.

Преобразуем схему Нортона в Тевенена, найдем E и R из I_N и R_N.

По закону Ома:

E = I_N × R_N

Общий вид для n ветвей:

Получили значение источника напряжения. Эквивалентное сопротивление = сопротивление Нортона. Таким образом, получаем эквивалентную схему Миллмана (рис. 2).

• Связанный материал: Теорема Нортона. Пошаговое руководство с примером

Шаги применения теоремы Миллмана

Шаг 1 Теорема применима только к сетям/цепям с множеством параллельных ветвей. Предполагаем цепь с параллельными ветвями, содержащими источники напряжения, последовательно соединенные с внутренними сопротивлениями.

Шаг 2 Составить список внутренних сопротивлений (или сопротивлений в последовательном соединении) и источников напряжения.

Шаг 3 Найти эквивалентное сопротивление (R) на клеммах нагрузки с замыканием источников напряжения.

Шаг 4 Применить теорему Миллмана и найти напряжение (E) на клеммах нагрузки. Использовать уравнение 1. Это напряжение на нагрузке.

Шаг 5 Подставить R и E в эквивалентную схему Миллмана (рис. 2).

Шаг 6 Применить ВКЗ (второй закон Кирхгофа) к контуру для нахождения тока через нагрузку.

• Связанный материал: Теорема суперпозиции — анализ цепей с примером

Анализ DC цепи по теореме Миллмана

Пример №1

Найти ток и напряжение на клеммах нагрузки по теореме Миллмана.

Шаг 1 По рисунку все 4 ветви параллельны. Применима теорема Миллмана.

Шаг 2 3 ветви (кроме нагрузки). 3 напряжения и 3 сопротивления:

E₁ = 12В, R₁ = 2 Ом

E₂ = 0В, R₂ = 4 Ом

E₃ = 16В, R₃ = 4 Ом

Шаг 3 Эквивалентное сопротивление: убрать источники напряжения (замкнуть), открыть клеммы нагрузки. Остается:

R_eq = 1 Ом

Все сопротивления параллельно, эквивалентное:

Шаг 4 Применяем теорему Миллмана.

3 ветви, n=3.

Подставляем значения:

E = 10В

Это напряжение на клеммах нагрузки.

Шаг 5 Подставляем в эквивалентную схему Миллмана.

Шаг 6 По закону Ома:

I_L = 1А

Напряжение на нагрузке 10 В, ток через нагрузку 1 А.

• Связанный материал: Теорема Теллегена — примеры и MATLAB симуляция

Анализ AC цепи по теореме Миллмана

Пример №2

Найти ток и напряжение на клеммах нагрузки по теореме Миллмана.

Шаг 1 4 ветви параллельно. Применима теорема Миллмана.

Шаг 2 Без ветви нагрузки — 3 ветви. Для удобства перечислим напряжения и импедансы. В AC цепях используем импеданс вместо сопротивления.

Напряжения в полярной форме. Импедансы в прямоугольной. Переведем напряжения в прямоугольную форму.

V₁ = 12∠60° = 6 + j10.392

V₂ = 9∠0° = 9 + j0

V₃ = 6∠30° = 5.196 + j3

Импедансы в прямоугольной форме, оставляем как есть.

Z₁ = 6 Ом

Z₂ = j6 Ом

Z₃ = –j6 Ом

Шаг 3 Эквивалентный импеданс. Убираем источники напряжения (замкнуть). Остается:

Все импедансы параллельно. Эквивалентный импеданс:

Z_eq = 6 Ом

Шаг 4 Применяем теорему Миллмана,

3 ветви, n=3.

V = 6 + j10.392 – j9 + j5.196 – 3

V = 3 + j6.588

Находим действующее значение (RMS).

V = 7.23В

Шаг 5 Подставляем в эквивалентную схему Миллмана.

Шаг 6 По закону Ома:

I_L = 0.9А

• Связанный материал: Теорема о передаче максимальной мощности для AC и DC цепей

Ограничения теоремы Миллмана

Теорема полезна для решения сетей, но имеет ограничения:

• Не применяется к цепям с зависимым источником между независимыми источниками.
• Для цепей с менее чем двумя независимыми источниками не полезна.
• Не применяется к цепям с только последовательными элементами.
• Если элемент соединен между источниками, теорема неприменима.

Применения теоремы Миллмана

Теорема широко используется в анализе сетей для решения сложных цепей:

• Наиболее полезна для нахождения напряжения и тока нагрузки при большом числе параллельных ветвей с источниками напряжения.
• Расчеты просты, не требуют множества уравнений.
• Применяется для решения сложных цепей со сложными элементами (Op-Amp).

Связанные уроки по анализу электрических цепей:

• Анализ SUPERNODE — пошагово с примером
• Анализ SUPERMESH — пошагово с примером
• Законы Кирхгофа (KCL и KVL) | Решенный пример
• Калькулятор правила Крамера — 2 и 3 уравнения для электрических цепей
• Мост Уитстоуна — схема, работа, вывод, применения
• Калькуляторы электротехники и электроники
• 5000+ формул и уравнений электротехники и электроники