Теорема Теллегена: полное руководство с решенными примерами и симуляциями в MATLAB

Теорема Теллегена — пошаговое руководство с решенными примерами

Что такое теорема Теллегена?

Теорема Теллегена была опубликована голландским электротехником и изобретателем Бернардом Д. Х. Теллегеном в 1952 году. Это наиболее фундаментальная и важная теорема среди всех теорем анализа электрических цепей. Большинство других теорем выводятся именно из неё.

Теорема Теллегена основана на законах Кирхгофа. Следовательно, она применима к любым цепям, подчиняющимся законам Кирхгофа. Теорема работает для широкого класса сетей: с линейными или нелинейными, 시간에 зависмыми или не зависящими, пассивными или активными элементами.

Теорема Теллегена гласит:

Теорема Теллегена основана на принципе закона сохранения энергии. Она находит применение в химических и биологических системах для определения динамического поведения физических сетей. В обработке сигналов теорема используется для проектирования фильтров.

• Связанная статья: Теорема Тевенена. Пошаговое руководство с решенным примером

Математическое уравнение

Для общего анализа рассмотрим сеть с n ветвями. Мгновенные токи через ветви: i₁, i₂, i₃, …, i_n. Мгновенные напряжения на ветвях: v₁, v₂, v₃, …, v_n.

Мгновенная мощность, потребляемая элементом 1: p₁ = v₁i₁.

p₁ = v₁ i₁

Мгновенная мощность элемента 2 (p₂):

p₂ = v₂ i₂

Аналогично, мгновенная мощность n-го элемента (p_n):

p_n = v_n i_n

Согласно теореме Теллегена, сумма всех мгновенных мощностей равна нулю:

p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n = 0

v₁ i₁ + v₂ i₂ + v₃ i₃ + … + v_n i_n = 0

В общем виде для k-й ветви:

Где:

• n = общее число ветвей в сети
• v_k = мгновенное напряжение k-й ветви
• i_k = мгновенный ток k-й ветви
• p_k = мгновенная мощность k-й ветви

Рассмотрим ветвь AB как k-ю ветвь (см. рисунок).

Тогда мгновенное напряжение v_k:

v_k = v_a – v_b

Мгновенный ток через ветвь (от a к b): i_k = i_ab.

p_k = v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab ….. (1)

Для обратного направления тока (от b к a): i_ab = – i_ba.

Мгновенное напряжение: v_k = v_b – v_a.

p_k = v_k i_k = (v_b – v_a) i_ba ….. (2)

Складывая уравнения (1) и (2):

2v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba

v_k i_k = 1/2 [(v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba] ….. (3)

Для n ветвей уравнение принимает вид:

Согласно закону Кирхгофа для токов (КТК), алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

Подставляя это в уравнение (4), получаем:

Таким образом, доказано, что сумма мощностей, поставляемых в сеть, равна нулю. Это также означает, что сумма мощностей, поглощаемых элементами сети, равна сумме мощностей, выдаваемых источниками.

• Связанная статья: Теорема Нортона. Пошаговое руководство с решенным примером

Шаги для применения теоремы Теллегена

Для решения электрической сети по теореме Теллегена выполните следующие шаги:

Шаг 1: Определите количество ветвей в заданной электрической сети. Найдите мощность, рассеиваемую на каждой ветви. Для этого вычислите ток или напряжение ветви любым классическим методом анализа.

Шаг 2: Вычислите мгновенную мощность каждой ветви.

Шаг 3: Ветви с источниками энергии — это ветви, отдающие мощность. Ветви с остальными элементами (резисторы, катушки, конденсаторы) — ветви, поглощающие мощность. Идентифицируйте их.

Шаг 4: Присвойте положительный знак мощности отдающим ветвям и отрицательный — поглощающим. Можно выбрать обратное соглашение, но нельзя менять его в ходе решения.

Шаг 5: Сложите мощности всех ветвей. Сумма всегда должна быть равна нулю — это подтверждает теорему Теллегена.

• Связанная статья: Анализ цепей с суперконтуром (SUPERMESH) — пошагово с примером

Рассмотрим примеры.

Решенные примеры по теореме Теллегена

Пример №1

Подтвердите теорему Теллегена для приведенной ниже сети.

Решение:

Шаг 1: Схема содержит 5 ветвей. Для расчета мгновенных мощностей найдем токи во всех ветвях, применив закон напряжений Кирхгофа (КВК).

КВК для контура 1:

15 = 12I₁ – 3I₂

КВК для контура 2:

12 = – 3I₂ + 6I₂

Решая систему, получаем:

I₁ = 2 А

I₂ = 3 А

Шаг 2: Ток через ветвь 3:

I₁₂ = I₂ – I₁ = 3 – 2 = 1 А

Теперь вычислим мощность каждой ветви:

P₁ = V I₁ = 15 × 2 = 30 Вт

P₂ = R₁ I₁² = 9 × 4 = 36 Вт

P₃ = R₁ I₁₂² = 3 × 1 = 3 Вт

P₄ = R₃ I₂² = 3 × 9 = 27 Вт

P₅ = V I₂ = 12 × 3 = 36 Вт

Шаг 3: Две ветви содержат источники (ветви 1 и 5) — они отдают мощность. Остальные три ветви поглощают мощность.

Шаг 4: Присваиваем знак «+» для P₁ и P₅, знак «–» для P₂, P₃, P₄.

Шаг 5: Сумма мощностей:

P₁ – P₂ – P₃ – P₄ + P₅ = 30 – 36 – 3 – 27 + 36 = 0 Вт

Сумма мгновенных мощностей равна нулю. Теорема подтверждена.

• Связанная статья: Анализ цепей с суперузлом (SUPERNODE) — пошагово с примером

Пример №2

Найдите напряжение на источнике тока 6 А, используя теорему Теллегена.

Решение:

Шаг 1: Вычислим токи и напряжения, применяя КТК/КВК.

КВК для контура 2:

–12 = 8I₂ – 6I₁

Ток через источник тока: I₁ = 6 А.

Подставляем:

–12 = 8I₂ – 36 → 24 = 8I₂ → I₂ = 3 А

Шаг 2: Ток через ветвь 2: I₁₂ = I₁ – I₂ = 6 – 3 = 3 А.

Мощности ветвей:

P₁ = V I₁ = V × 6 = 6V

P₂ = R₁ I₁₂² = 6 × 9 = 54 Вт

P₃ = R₂ I₂² = 2 × 9 = 18 Вт

P₄ = V I₂ = –12 × 3 = –36 Вт

Шаг 3: Ветви с источниками (1 и 4) — отдающие мощность (знак +). Резистивные ветви (2 и 3) — поглощающие (знак –).

Шаг 4: P₁ и P₄ — положительные; P₂ и P₃ — отрицательные.

Шаг 5: Сумма мощностей:

P₁ – P₂ – P₃ + P₄ = 0

P₁ – 54 – 18 + 36 = 0 → P₁ = 108 Вт

Мощность, отдаваемая источником тока 6 А, равна 108 Вт. Напряжение на нем:

P₁ = V I → 108 = V × 6 → V = 18 В

Напряжение на источнике тока составляет 18 В.

• Связанная статья: Теорема о максимальной передаче мощности для цепей переменного и постоянного тока

Анализ и симуляция теоремы Теллегена в MATLAB

Цель: Доказать теорему Теллегена для схемы из примера выше.

Требования: MATLAB / Simulink.

Теория: Согласно теореме Теллегена, сумма мгновенных мощностей всех ветвей равна нулю. Для доказательства нужно вычислить мгновенную мощность каждой ветви. Напряжения и токи можно найти по КТК/КВК, но здесь мы используем модель Simulink.

Можно также использовать Multisim, PSIM и др. Построим схему в Simulink. Дисплеи покажут напряжения и токи каждой ветви. Их можно сравнить с расчетными значениями.

Модель Simulink

На рисунке ниже показана схема примера в Simulink.

На дисплеях видно напряжение и ток. Сравните их с результатами, полученными ранее по КТК/КВК — значения совпадают.

Расчет

После получения напряжений и токов вычисляем мгновенные мощности и суммируем их. Сумма всегда равна нулю. В данном примере значения из Simulink совпадают с аналитическими расчетами. Те же значения можно получить экспериментально, собрав схему на макетной плате и измерив вольтметром и амперметром параметры всех ветвей.

Таким образом, теорема Теллегена доказана.

• Связанная статья: Законы Кирхгофа (KCL и KVL) | Решенный пример

Применение теоремы Теллегена

Эта фундаментальная теорема широко используется в анализе цепей. Основные области применения:

• Проектирование фильтров в цифровой обработке сигналов.
• Определение устойчивости химических установок в химической инженерии.
• Применима к сосредоточенным системам с линейными/нелинейными, активными/пассивными, 시간에 зависмыми/независящими элементами.
• Используется в биологических процессах.
• Применяется в топологии и анализе структурных реакций.
• Находит динамическое поведение физических сетей.

Связанные уроки по анализу электрических цепей:

• Теорема суперпозиции — анализ цепей с решенным примером
• Калькулятор правила Крамера — системы 2 и 3 уравнений для электрических цепей
• Мост Вейтстоуна — схема, работа, вывод и применение
• Калькуляторы электротехники и радиоэлектроники
• 5000+ формул и уравнений электротехники и радиоэлектроники