Освойте теорему суперпозиции: пошаговый анализ цепей с практическим примером

Теорема суперпозиции — пошаговое руководство с решенным примером

Что такое теорема суперпозиции?

Теорема суперпозиции используется для решения сложных сетей с множеством источников энергии. Важная концепция для определения напряжения и тока через элементы путем расчета влияния каждого источника отдельно и объединения эффектов всех источников для получения реального напряжения и тока элемента цепи.

Теорема суперпозиции утверждает:

Иными словами, рассматриваем только один независимый источник за раз. Остальные источники убираем. Источники напряжения замыкаем (короткое замыкание), источники тока размыкаем (разрыв цепи) — для идеальных источников. Если даны внутренние сопротивления источников, учитываем их в схеме.

Теорема суперпозиции применяется только к цепям, подчиняющимся закону Ома.

• Связанный материал: Теорема Тевенена. Пошаговое руководство с примером

Когда использовать теорему суперпозиции?

Сеть должна удовлетворять требованиям:

• Компоненты должны быть линейными. Для резисторов ток пропорционален напряжению; для индуктивностей поток пропорционален току. Резистор, катушка, конденсатор — линейные элементы. Диод, транзистор — нелинейные.
• Компоненты должны быть двусторонними (билатеральными). Величина тока не зависит от полярности источников энергии.
• Суперпозицией можно найти ток через элемент, падение напряжения на резисторе, потенциал узла. НЕЛЬЗЯ найти рассеиваемую мощность.

• Связанный материал: Теорема Нортона. Пошаговое руководство с примером

Шаги применения теоремы суперпозиции

Шаг 1 Определить число независимых источников в сети.

Шаг 2 Выбрать один источник, убрать все остальные. Если есть зависимые источники — их НЕ убирают, они остаются во всех расчетах.

Если все источники идеальные — внутренние сопротивления не учитываем. Замыкаем источник напряжения, размыкаем источник тока. Если даны внутренние сопротивления — заменяем ими источники.

Шаг 3 В цепи остался только один независимый источник. Найти ответ (ток, напряжение) только от этого источника.

Шаг 4 Повторить шаги 2 и 3 для всех источников. Если 3 независимых источника — повторить 3 раза. Каждый раз получаем значение ответа.

Шаг 5 Объединить все ответы алгебраической суммой, полученных от отдельных источников. Получим итоговое значение ответа для конкретного элемента. Для других элементов — повторить процедуру.

• Связанный материал: Анализ SUPERMESH — пошагово с примером

Решенный пример теоремы суперпозиции

Пример:

Понятие работы теоремы суперпозиции на примере. Найти ток (I_L) через резистор 8 Ом в заданной сети по теореме суперпозиции.

Решение:

Шаг 1 На схеме: 1 источник напряжения и 1 источник тока. Нужно повторить процедуру 2 раза.

Шаг 2 Сначала считаем, что в сети только источник 28В. Убираем источник тока размыканием клемм. Источник тока идеален — внутреннее сопротивление не подключаем.

Остается схема:

Шаг 3 Найти ток (I_L1) через 8 Ом. Эффект только от источника напряжения.

Из-за размыкания источника тока через 10 Ом ток не течет. Сеть — один контур.

Применяем ВКЗ (второй закон Кирхгофа) к контуру:

28 = 6_L1 + 8_L1

28 = 14_L1

_L1 = 28/14

_L1 = 2А

Шаг 4 Теперь повторяем для источника тока. Убираем источник напряжения замыканием. Остается схема:

Здесь 2 контура. I₁ и I₂ — токовые контуры. Найти I_L2.

ВКЗ к контуру 1:

0 = 6₁ + 8₁ – 8₂

14₁ – 8₂ = 0

Ток контура 2 задается источником тока:

₂ = 28А

Подставляем в уравнение:

14₁ – 8(28) = 0

₁ = 16А

Ветвь 8 Ом общая для обоих контуров. Находим результирующий ток (I_L2) через 8 Ом:

_L2 = ₁ – ₂

_L2 = 16 – 28

_L2 = -12А

Шаг 5 Объединяем эффекты обоих источников алгебраической суммой токов. Итоговый ток через 8 Ом — I_L. Направление тока критично. I_L2 имеет минус — при 28А ток течет в противоположную сторону. Направление нельзя менять. При объединении делаем алгебраическую сумму.

_L = _L1 – _L2

_L = 2 + (-12)

_L = -10А

Предполагали, что ток через 8 Ом в направлении стрелки на рисунке. Минус — противоположное направление. Величина тока 10А.

• Связанный материал: Анализ SUPERNODE — пошагово с примером

Эксперимент по теореме суперпозиции

Эксперимент проводится по шагам:

Цель

Определить ток через резисторы и проверить теорему суперпозиции.

Компоненты

Источник DC, резисторы, мультиметры DC, соединительные провода, макетная плата и др.

Теория

Теорема суперпозиции используется в анализе цепей для нахождения тока и напряжения на элементах. Полезна при множестве источников.

По теореме суперпозиции ответ элемента — алгебраическая сумма ответов от отдельных источников энергии.

Сначала рассчитаем ток через резисторы при всех подключенных источниках. Потом уберем источники и найдем токи для каждого отдельно. В конце сумма токов от отдельных источников должна совпасть с током при всех подключенных источниках.

Процедура

Рассмотрим линейную билатеральную схему на рисунке.

Соберем все элементы на макетной плате по схеме с проводами. Подключим амперметр к каждому резистору для измерения тока. Два источника напряжения.

Случай 1: измеряем токи через все резисторы при обоих источниках. Токи через R₁, R₂, R₃ — I₁, I₂, I₃.

Теперь уберем 12В источник. Замкнем клеммы A' и B' как на рисунке. Источники идеальные — внутреннее сопротивление не подключаем. Измеряем токи I'₁, I'₂, I'₃ через R1, R2, R3.

Аналогично уберем 9В источник, оставшаяся схема на рисунке. Снова измеряем токи через все резисторы, обозначим I''₁, I''₂, I''₃.

• Связанный материал: Теорема о передаче максимальной мощности для AC и DC цепей

Заполним таблицу наблюдений.

Таблица наблюдений

Подключение источников	R1	R2	R3
Оба источника подключены	I1	I2	I3
Только 12В подключен	I'1	I'2	I'3
Только 9В подключен	I''1	I''2	I''3

Расчет:

I₁ = I'₁ + I''₁

I₂ = I'₂ + I''₂

I₃ = I'₃ + I''₃

Для проверки теоремы сравниваем алгебраическую сумму токов через резисторы при отдельных источниках с токами, измеренными при обоих подключенных источниках.

Если расчеты совпадают — теорема суперпозиции доказана.

Заключение

В эксперименте доказано, что ток через резистор — алгебраическая сумма токов при отдельно подключенных источниках энергии. Доказывает теорему суперпозиции.

• Связанный материал: Законы Кирхгофа (KCL и KVL) | Решенный пример

Применение теоремы суперпозиции

• Применима к AC и DC сетям.
• При множестве независимых источников легко найти ответ сети.
• Помогает рассчитать ток и напряжение на элементе, вычисляя эффект каждого источника отдельно, затем объединяя общий эффект.

Недостатки теоремы суперпозиции

• Не применяется к цепям только с зависимым источником. Нужно минимум 2 независимых источника.
• Только для сетей с линейными элементами. Не для нелинейных (диод, транзистор).
• Нельзя рассчитать мощность — мощность пропорциональна квадрату напряжения и тока, становится нелинейной.
• Неприменима, если сопротивление меняется с напряжением и током. Для всех источников сопротивление должно оставаться постоянным.
• Только для билатеральных элементов. Если ответ сети зависит от направления тока — теорема неприменима.

Связанные уроки по анализу электрических цепей:

• Теорема Теллегена — примеры и MATLAB симуляция
• Калькулятор правила Крамера — 2 и 3 уравнения для электрических цепей
• Мост Уитстоуна — схема, работа, вывод, применения
• Калькуляторы электротехники и электроники
• 5000+ формул и уравнений электротехники и электроники