Теорема Нортона: упрощение линейных цепей с источниками тока и параллельным сопротивлением

Что такое теорема Нортона?

Теорема Нортона показывает, что любая линейная цепь — независимо от сложности — может быть редуцирована к эквивалентной цепи, состоящей из единственного источника тока в параллели с сопротивлением. Термин «линейная» несет то же значение, что и в Теореме суперпозиции: все отношения должны быть линейными (без степеней или корней).

Упрощение линейных цепей

Наша исходная цепь и ее эквивалент Нортона выглядят так:

… после применения преобразования Нортона …

Источник тока выдает фиксированное количество тока, предоставляя любое необходимое напряжение для поддержания этого тока.

Теорема Тевенена vs Теорема Нортона

Как и Теорема Тевенена, все элементы, кроме нагрузочного сопротивления, сворачиваются в более простую форму. Шаги вычисления тока источника Нортона (I_Нортон) и сопротивления Нортона (R_Нортон) зеркалят те, что используются для эквивалентов Тевенена.

Идентификация нагрузочного сопротивления

Сначала находим нагрузочный резистор и удаляем его из исходной сети:

Нахождение тока Нортона

Далее замыкаем две нагрузочные клеммы и вычисляем результирующий ток. Этот шаг инверсен подходу Тевенена, где нагрузка размыкается.

При нулевом напряжении на замыкании ток через R₁ равен напряжению источника B₁, деленному на R₁: 7 А. Аналогично, ток через R₃ равен напряжению B₂, деленному на R₃: 7 А. Общий ток через замыкание 7 А + 7 А = 14 А, что становится I_Нортон в эквивалентной модели:

Нахождение сопротивления Нортона

Для определения R_Нортон заменяем все независимые источники напряжения на короткие замыкания и все независимые источники тока на размыкания, затем измеряем сопротивление между двумя нагрузочными клеммами:

Эквивалент Нортона теперь выглядит так:

Вычисление напряжения на нагрузочном резисторе

Переподключаем нагрузку 2 Ом и рассматриваем схему Нортона как простое параллельное соединение:

Как и в модели Тевенена, ключевой результат — напряжение и ток на нагрузочном резисторе. Представление Нортона позволяет быстрый переанализ для множественных значений нагрузки, используя только базовые формулы параллельных цепей.

Резюме

• Теорема Нортона редуцирует любую линейную сеть к источнику тока в параллели с сопротивлением, упрощая анализ нагрузки.
• Процедура:
  • Определить I_Нортон, замыкая нагрузку и измеряя результирующий ток.
  • Определить R_Нортон, замыкая источники напряжения, размыкая источники тока и измеряя сопротивление между клеммами нагрузки.
  • Нарисовать эквивалент Нортона с источником тока и параллельным сопротивлением, затем переподключить нагрузку.
  • Применить правила параллельных цепей для нахождения напряжения и тока нагрузки.

Связанный рабочий лист

• Рабочий лист: Теоремы Тевенена, Нортона и максимальной передачи мощности