Дифференцирование экспоненциальных функций с основанием e

Примеры производных e

Коэффициент пропорциональности

Когда говорят, что связь или явление «экспоненциальное», имеют в виду, что скорость изменения величины пропорциональна самой величине. Следовательно, производная экспоненциальной функции равна исходной функции, умноженной на константу k, отражающую эту пропорциональность.

$$\frac{d}{dx}a^x = k a^x$$

Коэффициент пропорциональности — это натуральный логарифм основания:

$$\frac{d}{dx}a^x = \ln(a)\times a^x$$

Когда основание — число e, ln(e) = 1, поэтому производная e^x равна самой e^x:

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

Правило цепочки

Если показатель степени — более сложное выражение, применяем правило цепочки: дифференцируем внешнюю экспоненту и умножаем на производную внутренней функции.

$$\frac{d}{dx}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\times\frac{d}{dx}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$

Этот метод полезен для оценки чувствительности диодного тока к напряжению. Уравнение Шокли даёт приближённую связь между напряжением на диоде (V_D) и током через него (I_D):

$$I_D = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}$$

(См. страницу «Диоды и выпрямители» для деталей; I_S — константа, а не переменная.) Чтобы найти, как ток меняется с напряжением, дифференцируем:

$$\frac{dI_D}{dV_D} = \frac{d}{dV_D}\bigl(I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}\bigr) = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}} \times \frac{1}{0.026}$$

Таким образом, при заданном V_D инфинитезимальное увеличение напряжения увеличивает ток на (I_S/0.026) e^V_D/0.026.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист «Математический анализ для электрических цепей»