Теорема Нортона: пошаговое руководство с практический примером

Теорема Нортона в анализе цепей постоянного тока

Теорема Нортона — мощный метод упрощения линейных активных цепей, аналогичный теореме Тевенена. Ключевое различие: Тевенен заменяет цепь эквивалентным источником напряжения с последовательным сопротивлением, а Нортон — эквивалентным источником тока с параллельным сопротивлением.

Формулировка теоремы

Любая линейная цепь с двумя выводами эквивалентна реальному независимому источнику тока, параллельно соединенному с сопротивлением.

Алгоритм применения теоремы Нортона

1. Замкните нагрузочный резистор (короткое замыкание на клеммах нагрузки).
2. Рассчитайте/измерьте ток короткого замыкания — это ток Нортона (I_N).
3. Замените источники тока на размыкание, источники напряжения — на замыкание, нагрузочный резистор — на размыкание.
4. Рассчитайте/измерьте входное сопротивление цепи — это сопротивление Нортона (R_N).
5. Постройте эквивалентную схему: источник тока I_N параллельно R_N, к ним подключите нагрузочный резистор R_L.
6. Найдите ток через нагрузку и напряжение на ней по правилу разделения тока:
   I_L = I_N × [R_N / (R_N + R_L)]
   V_L = I_L × R_L

Решенный пример

Дано: Схема с источником 12 В, резисторами 2 Ом, 3 Ом, 6 Ом и нагрузкой 1,5 Ом. Найти I_N, R_N, I_L, V_L.

Шаг 1. Замыкаем нагрузку (1,5 Ом)

Клеммы А и В замкнуты.

Шаг 2. Находим I_N (ток КЗ)

6 Ом и 3 Ом параллельно: (6×3)/(6+3) = 2 Ом.
Этот параллельный эквивалент последовательно с 2 Ом: R_общ = 2 + 2 = 4 Ом.
Ток от источника: I_T = 12 В / 4 Ом = 3 А.
По правилу разделения тока через ветку 6 Ом (ток КЗ):
I_N = I_K3 = 3 А × [6 / (3+6)] = 2 А.

Шаг 3. Отключаем источники: токовые — размыкаем, напряжения — замыкаем

Источник 12 В заменяем проводником.

Шаг 4. Находим R_N

3 Ом последовательно с параллельной связкой (6 Ом || 2 Ом):
R_N = 3 + [(6×2)/(6+2)] = 3 + 1,5 = 4,5 Ом.

Шаг 5. Эквивалентная схема Нортона

Источник тока 2 А параллельно 4,5 Ом, к ним нагрузка 1,5 Ом.

Шаг 6. Ток и напряжение на нагрузке

I_L = 2 А × [4,5 / (4,5 + 1,5)] = 2 × 0,75 = 1,5 А.
V_L = 1,5 А × 1,5 Ом = 2,25 В.

Важное замечание

Обе теоремы (Нортона и Тевенена) применимы к цепям переменного тока с R, L, C. В переменном токе I_N выражается комплексным числом (полярная форма), а R_N — в прямоугольной.

Связанные теоремы и методы:

• Теорема о передаче максимальной мощности
• Законы Кирхгофа (КТК и КТН) с примером
• Теорема о компенсации
• Теорема о замещении
• Теорема Миллмана
• Теорема суперпозиции
• Теорема Теллегена
• Метод суперузла и суперконтура
• Правило делителя напряжения (ПДН)
• Правило делителя тока (ПДТ)
• Преобразование «звезда-треугольник»