Теорема Тевенена: упрощение линейных цепей для анализа систем электроснабжения

В электротехнике Теорема Тевенена гарантирует, что любая линейная сеть — составленная из резисторов, индуктивностей, конденсаторов и идеальных источников — может быть свернута в эквивалентную цепь с единственным источником напряжения в последовательности с сопротивлением. Эта редукция бесценна при оценке влияния единственного нагрузочного резистора, особенно в системах распределения энергии, где значения нагрузки часто меняются.

Теорема Тевенена в системах электроснабжения

Системы электроснабжения регулярно меняют нагрузочные сопротивления при включении/выключении устройств. Повторное решение полной сети для каждого нового значения нагрузки конвенциональными методами (ветвенные токи, токи петель, Миллман, суперпозиция) трудоемко. Теорема Тевенена снимает эту ношу, преобразуя всю сеть — исключая нагрузку — в простую последовательную пару.

Предположим, R₂ — нагрузка. Сначала изолируем ее, затем редуцируем оставшуюся сеть к эквивалентному источнику напряжения E_{Тевенен} и последовательному сопротивлению R_{Тевенен}. Нагрузка переподключается к этой паре, и напряжение и ток на ней следуют напрямую из правил последовательной цепи.

Эквивалентная схема Тевенена

После удаления R₂ оставшиеся элементы (батареи B₁ и B₂, резисторы R₁ и R₃) представлены единственным источником напряжения и единственным сопротивлением, как показано:

После редукции:

По конструкции, нагрузочный резистор не может отличить исходную сеть от ее эквивалента Тевенена; обе выдают идентичное напряжение и ток для того же значения нагрузки.

Определение напряжения Тевенена

С удаленной нагрузкой вычисляем напряжение холостого хода между двумя клеммами:

Результат: E_{Тевенен} = 11,2 В.

Определение последовательного сопротивления Тевенена

Замкаем все источники напряжения (заменяем их идеальными проводами) и размыкаем все источники тока, затем измеряем сопротивление между клеммами нагрузки:

Два резистора в параллели дают R_{Тевенен} = 0,8 Ом.

Вычисление напряжения и тока нагрузки

Переподключаем нагрузку (R₂ = 2 Ом) и анализируем простую последовательную цепь:

Нагрузка видит V_R₂ = 8 В и I_R₂ = 4 А, идентично значениям, полученным любым детальным методом.

Поскольку эквивалент Тевенена независим от нагрузки, изменение R₂ требует только единственного пересчета с теми же формулами последовательной цепи.

Резюме

• Теорема Тевенена редуцирует любую линейную сеть к единственному источнику напряжения в последовательности с сопротивлением.
• Процедура:
  • Вычислить напряжение холостого хода между клеммами нагрузки (E_{Тевенен}).
  • Замкнуть все независимые источники напряжения и размкнуть источники тока; измерить получившееся сопротивление между этими клеммами (R_{Тевенен}).
  • Нарисовать эквивалентную схему: E_{Тевенен} в последовательности с R_{Тевенен}, затем переподключить нагрузку.
  • Применить правила последовательной цепи для нахождения напряжения и тока нагрузки.

Связанный рабочий лист

• Рабочий лист: Теоремы Тевенена, Нортона и максимальной передачи мощности