Теорема компенсации в анализе цепей: доказательство, объяснение и практические примеры

Доказательство, объяснение, эксперимент и решенные примеры теоремы компенсации для анализа электрических цепей

Теорема компенсации

В теории цепей часто нужно изучить влияние изменения импеданса в одной ветви на соответствующие напряжения и токи во всей сети. Теорема компенсации дает информацию об этом изменении.

Теорема основана на законе Ома. По закону Ома, когда ток проходит через резистор, на нем возникает падение напряжения, которое противостоит напряжению источника.

Поэтому мы подключаем дополнительный источник напряжения с обратной полярностью относительно основного источника и величиной, равной падению напряжения. На этой концепции и строится теорема компенсации.

Теорема компенсации гласит:

Если импеданс ветви сети изменяется на ΔZ, то изменение токов во всех ветвях равно токам, которые бы возникли от источника компенсации V_C = I·ΔZ, включенного в эту ветвь с полярностью, противоположной току I, при условии, что все независимые источники заменены их внутренними импедансами (идеальный источник напряжения — короткое замыкание, идеальный источник тока — разрыв цепи).

Объяснение теоремы компенсации

Рассмотрим схему с источником напряжения V и двумя линейными/двусторонними импедансами Z₁ и Z₂. Ток в контуре — I.

Пусть импеданс Z₂ увеличился на ΔZ. Ток стал I'. Изменение тока ΔI = I – I'.

По теореме компенсации, чтобы найти ΔI, модифицируем схему:

1. В ветви с измененным импедансом включаем источник компенсации V_C = I·ΔZ с полярностью, противоположной основному источнику.
2. Убираем основной источник V, заменяя его внутренним импедансом (для идеального — КЗ).

В полученной схеме ток в контуре будет равен ΔI.

Доказательство теоремы компенсации

Исходная схема (Рис. 1): Применяем КВУ (закон напряжений Кирхгофа):

V = I(Z₁ + Z₂)

Модифицированная схема (Рис. 2): Z₂ → Z₂ + ΔZ. Ток I'.

V = I'(Z₁ + Z₂ + ΔZ)

Изменение тока: ΔI = I – I'.

Подставим выражения для I и I':

ΔI = V/(Z₁+Z₂) – V/(Z₁+Z₂+ΔZ)

ΔI = V·ΔZ / [(Z₁+Z₂)(Z₁+Z₂+ΔZ)]

Компенсационная схема (Рис. 3): Основной источник убран (КЗ), добавлен V_C = I·ΔZ.

Ток в этом контуре I''. Применяем КВУ:

V_C = I''(Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = V_C / (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

Подставим V_C = I·ΔZ = [V/(Z₁+Z₂)]·ΔZ:

I'' = V·ΔZ / [(Z₁+Z₂)(Z₁+Z₂+ΔZ)] = ΔI

Следовательно, ток в компенсационной схеме равен изменению тока в исходной схеме. Теорема доказана.

Экспериментальная проверка теоремы компенсации

Цель: Доказать теорему и найти изменение тока.

Оборудование: Вольтметр, амперметр, резисторы, соединительные провода, макетная плата.

Схемы: Исходная (Рис. 5), с измененным резистором (Рис. 6), компенсационная (Рис. 7).

Процедура:

1. Соберите схему по Рис. 5. Измерьте ток I.
2. Соберите схему по Рис. 6 (добавлен резистор). Измерьте ток I₁.
3. Вычислите ΔI = I – I₁.
4. Соберите компенсационную схему по Рис. 7. Измерьте ток I''.
5. Сравните ΔI и I''.

Таблица результатов:

№	I	I1	ΔI	I''
1

Результат: Сравнение I'' и ΔI подтверждает теорему компенсации.

Примеры применения теоремы компенсации

Пример 1

Задача:

1. Найти ток в ветви AB при сопротивлении 3 Ом.
2. Найти ток в ветви AB по теореме компенсации, если 3 Ом заменено на 9 Ом.
3. Доказать теорему.

Решение 1 (исходная схема):

6 Ом и 3 Ом параллельно, эта комбинация последовательно с 3 Ом.

R_экв = (6×3)/(6+3) + 3 = 2 + 3 = 5 Ом

I_общ = 10 В / 5 Ом = 2 А

Ток в ветви AB (правило делителя тока):

I' = 2 А × 6/(6+3) = 1,333 А (4/3 А)

Решение 2 (компенсация):

ΔZ = 9 – 3 = 6 Ом. I' = 4/3 А.

V_C = I'·ΔZ = (4/3) × 6 = 8 В

Компенсационная схема: источник 8 В в серии с 9 Ом, основной источник 10 В заменен на КЗ.

Эквивалентное сопротивление: 3||6 + 9 = 2 + 9 = 11 Ом.

ΔI = V_C / R_экв = 8 / 11 = 0,7272 А

Решение 3 (проверка прямым расчетом):

Схема с 9 Ом вместо 3 Ом: 9||6 + 3 = 3,6 + 3 = 6,6 Ом.

I_нов = 10 / 6,6 = 1,5151 А

Ток в ветви AB (9 Ом и 6 Ом параллельно):

I'' = 1,5151 × 6/(9+6) = 0,6060 А

ΔI = I' – I'' = 1,333 – 0,6060 = 0,7273 А

Результаты совпадают (0,7272 ≈ 0,7273). Теорема подтверждена.

Пример 2

Схема с источником тока. Найти изменение тока при замене 3 Ом на 7 Ом по теореме компенсации и доказать её.

Ток через 3 Ом в исходной схеме (правило делителя тока): I = 7 А.

ΔZ = 7 – 3 = 4 Ом. V_C = I·ΔZ = 7 × 4 = 28 В.

Компенсационная схема: источник тока убран (разрыв), добавлен V_C = 28 В в серии с 7 Ом и 7 Ом (внутренний резистор параллельной ветви).

ΔI = 28 / (7+7) = 2 А

Проверка: В схеме с 7 Ом ток через эту ветвь I'' = 5 А. ΔI = 7 – 5 = 2 А. Совпадает.