Расчет напряжения и тока в реактивных DC цепях

Вы можете точно определить, как напряжение и ток эволюционируют во времени в любой реактивной DC цепи.

Расчет значений в реактивной DC цепи

Начните с установления начальных и конечных значений величины, которую реактивный компонент сопротивляется менять — напряжения для конденсаторов и тока для индуктивностей. Когда переключатель переключается, компонент удерживает эту величину близко к своему пред-переходному уровню, который служит отправной точкой.

Конечное значение — то, к чему величина устанавливается после бесконечного времени. Для конденсаторов смоделируйте цепь с конденсатором как разомкнутую цепь; для индуктивностей — рассмотрите индуктивность как короткое замыкание. Эти представления раскрывают установившееся напряжение или ток.

Далее, вычислите постоянную времени цепи — период, за который величина смещается примерно на 63 % от начального к конечному значению во переходном процессе. В последовательной RC цепи τ = R × C. Для последовательной L/R цепи τ = L / R. Постоянная времени измеряется в секундах и обозначается греческой буквой τ (тау).

 

 

Напряжение и ток в переходном ответе следуют экспоненциальным кривым, асимптотически приближаясь к конечным значениям. После одного τ величина сдвинулась примерно на 63 % к цели. Точный процент задается:

 

 

Используя постоянную Эйлера e (≈ 2,71828), процент изменения после n τ:

 

 

После двух τ:

 

 

После десяти τ:

 

 

По мере увеличения времени дробь в экспоненциальном члене убывает, толкая общее выражение к 1 (100 %).

Универсальная формула постоянной времени

Для краткого расчета умножьте экспоненциальный член на разность между конечным и начальным значениями:

 

Применим это к последовательной RC цепи, показанной ранее.

 

Поскольку конденсатор сопротивляется изменению напряжения, мы анализируем напряжение напрямую. Резистор 10 кОм и конденсатор 100 мкФ дают τ = 10 кОм × 100 мкФ = 1 с.

 

Предполагая, что конденсатор начинает разряженным (0 В) и батарея дает 15 В, универсальная формула становится:

 

После 7,25 с подъем напряжения составляет:

 

 

Таким образом, конденсатор достигает 14,989 В при 7,25 с.

То же выражение дает ток. С свежеразряженным конденсатором, действующим как замыкание, начальный ток 15 В / 10 кОм = 1,5 мА. Конечный ток — ноль, когда конденсатор ведет себя как разомкнутая цепь.

 

Применение формулы дает изменение –1,4989 мА, поэтому ток при 7,25 с составляет 1,065 мкА.

Альтернативно, вычтите напряжение конденсатора из напряжения батареи, затем примените закон Ома: I = (15 В – 14,989 В) / 10 кОм = 1,065 мкА — подтверждая результат.

 

Использование универсальной формулы постоянной времени для индуктивных цепей

Тот же подход работает для RL цепей. Рассмотрим пример L/R цепи с L = 1 Гн и R = 1 Ом; τ = L / R = 1 с.

 

Здесь реактивный элемент противодействует изменению тока. Начиная с разомкнутого выключателя, ток нулевой. Через долгое время установившийся ток V / R = 15 А.

Чтобы найти ток при 3,5 с, используйте универсальную формулу:

 

Поскольку начальный ток нулевой, ток при 3,5 с равен 14,547 А.

Напряжение на индуктивности получается вычитанием падения на резисторе из питания. С единственным резистором 1 Ом падение составляет 14,547 В, оставляя 0,453 В на индуктивности при 3,5 с.

 

 

Обзор

• Универсальная формула постоянной времени: ΔQ = (Q_final – Q_initial) · (1 – e^(–t/τ))
• Шаги для RC или RL анализа:
• 1. Вычислите τ (RC или L/R).
• 2. Определите реактивную величину (напряжение для конденсаторов, ток для индуктивностей).
• 3. Определите начальные и конечные значения.
• 4. Подставьте значения в универсальную формулу и решите для изменения.
• 5. Если начальное значение нуль, вычисленное изменение равно величине в момент t; иначе прибавьте изменение к начальному значению.

Связанные рабочие листы

• Рабочий лист: Цепи с постоянной времени
• Рабочий лист: Расчеты постоянной времени

Исследуйте нашу коллекцию Калькуляторов мощности в разделе Инструменты.