Расчет напряжения и тока

Есть надежный способ рассчитать любое из значений реактивной цепи постоянного тока с течением времени.

Расчет значений в реактивной цепи постоянного тока

Первым шагом является определение начального и конечного значений для любого количества конденсатора или катушки индуктивности, которое препятствует изменению; то есть, какое бы количество реактивный компонент ни пытался поддерживать постоянным. Для конденсаторов это количество составляет напряжение .; для катушек индуктивности эта величина равна току . Когда переключатель в цепи замкнут (или разомкнут), реактивный компонент будет пытаться поддерживать это количество на том же уровне, что и до переключения переключателя, так что это значение должно использоваться в качестве «начального» значения.

Конечное значение этого количества будет таким, каким оно будет по прошествии бесконечного времени. Это можно определить путем анализа емкостной цепи, как если бы конденсатор был разомкнутой цепью, и индуктивной цепи, как если бы индуктор был коротким замыканием, потому что именно так эти компоненты ведут себя, когда они достигли «полного заряда», через бесконечное количество времени.

Следующим шагом является вычисление постоянной времени . схемы:время, необходимое для изменения значений напряжения или тока примерно на 63 процента от их начальных значений до конечных значений в переходной ситуации.

В последовательной RC-цепи постоянная времени равна полному сопротивлению в омах, умноженному на общую емкость в фарадах. Для последовательной цепи L / R это общая индуктивность в генри, деленная на общее сопротивление в омах. В любом случае постоянная времени выражается в секундах . и обозначается греческой буквой «тау» (τ):

Повышение и понижение таких значений схемы, как напряжение и ток, в ответ на переходный процесс, как упоминалось ранее, являются асимптотическими . . При этом значения начинают быстро меняться вскоре после переходного процесса и со временем стабилизируются. На графике приближение к конечным значениям напряжения и тока образуют экспоненциальные кривые.

Как было сказано ранее, одна постоянная времени - это количество времени, которое требуется для того, чтобы любое из этих значений изменилось примерно на 63 процента от их начальных значений до их (конечных) конечных значений. Для каждой постоянной времени эти значения приближаются (приблизительно) на 63 процента к их конечной цели. Математическая формула для определения точного процента довольно проста:

Буква е обозначает постоянную Эйлера, которая приблизительно равна 2,7182818. Он получен из методов исчисления после математического анализа асимптотического подхода значений схемы. После прохождения одной постоянной времени процент изменения от начального значения до конечного составляет:

По прошествии двух временных констант процент изменения от начального значения до конечного значения составляет:

По истечении десяти значений постоянной времени процентное соотношение составляет:

Чем больше времени проходит с момента подачи кратковременного напряжения от батареи, тем больше значение знаменателя в дроби, что приводит к меньшему значению для всей дроби, в результате чего общая сумма (1 минус дробь) приближается к 1, или 100 процентов.

Формула универсальной постоянной времени

Из этой формулы мы можем составить более универсальную формулу для определения значений напряжения и тока в переходных цепях, умножив эту величину на разницу между конечным и пусковым значениями цепи:

Давайте проанализируем рост напряжения в цепи последовательного резистора-конденсатора, показанной в начале главы.

Обратите внимание, что мы решили анализировать напряжение, потому что это количество конденсаторов, как правило, остается постоянным. Хотя формула довольно хорошо работает для тока, начальные и конечные значения тока фактически выводятся из напряжения конденсатора, поэтому расчет напряжения является более прямым методом. Сопротивление составляет 10 кОм, а емкость - 100 мкФ (микрофарад). Поскольку постоянная времени (τ) для RC-цепи является произведением сопротивления и емкости, мы получаем значение в 1 секунду:

Если конденсатор запускается в полностью разряженном состоянии (0 вольт), то мы можем использовать это значение напряжения в качестве «начального» значения. Конечным значением, конечно же, будет напряжение аккумулятора (15 вольт). Наша универсальная формула для напряжения конденсатора в этой схеме выглядит так:

Итак, после 7,25 секунды подачи напряжения через замкнутый переключатель, напряжение конденсатора увеличится на:

Поскольку мы начали с напряжения конденсатора 0 вольт, это увеличение на 14,989 вольт означает, что у нас будет 14,989 вольт через 7,25 секунды.

Та же формула будет работать и для определения тока в этой цепи. Поскольку мы знаем, что разряженный конденсатор изначально действует как короткое замыкание, пусковой ток будет максимально возможным:15 вольт (от батареи), разделенные на 10 кОм (единственное противодействие току в цепи в начале):

Мы также знаем, что конечный ток будет равен нулю, поскольку конденсатор в конечном итоге будет вести себя как разомкнутая цепь, а это означает, что в конечном итоге электроны не будут течь по цепи. Теперь, когда мы знаем как начальное, так и конечное значения тока, мы можем использовать нашу универсальную формулу для определения тока через 7,25 секунды замыкания переключателя в той же RC-цепи:

Обратите внимание, что полученное значение изменения отрицательное, а не положительное! Это говорит нам о том, что сила тока уменьшилась а не увеличивались с течением времени. Поскольку мы начали с тока 1,5 мА, это уменьшение (-1,4989 мА) означает, что у нас есть 0,001065 мА (1,065 мкА) через 7,25 секунды.

Мы также могли бы определить ток цепи в момент времени =7,25 секунды, вычтя напряжение конденсатора (14,989 вольт) из напряжения батареи (15 вольт), чтобы получить падение напряжения на резисторе 10 кОм, а затем рассчитав ток через резистор (и вся последовательная цепь) по закону Ома (I =E / R). В любом случае мы должны получить тот же ответ:

Использование формулы универсальной постоянной времени для анализа индуктивных цепей

Формула универсальной постоянной времени также хорошо работает для анализа индуктивных цепей. Давайте применим его к нашему примеру цепи L / R в начале главы:

При индуктивности 1 генри и последовательном сопротивлении 1 Ом наша постоянная времени равна 1 секунде:

Поскольку это индуктивная цепь, и мы знаем, что индукторы противодействуют изменению тока, мы создадим нашу формулу постоянной времени для начального и конечного значений тока. Если мы начнем с переключателя в разомкнутом положении, ток будет равен нулю, поэтому ноль будет нашим начальным текущим значением.

После того, как переключатель был оставлен замкнутым в течение длительного времени, ток стабилизируется до своего конечного значения, равного напряжению источника, деленному на полное сопротивление цепи (I =E / R), или 15 ампер в случае этой цепи. .

Если бы мы хотели определить значение тока через 3,5 секунды, мы бы применили формулу универсальной постоянной времени как таковую:

Учитывая тот факт, что наш пусковой ток был равен нулю, мы получаем ток в цепи 14,547 А за время 3,5 секунды.

Для определения напряжения в индуктивной цепи лучше всего сначала рассчитать ток в цепи, а затем рассчитать падение напряжения на сопротивлениях, чтобы определить, что осталось упасть на катушке индуктивности. С одним резистором в нашей примерной схеме (имеющим значение 1 Ом) это довольно просто:

Если вычесть из напряжения нашей батареи 15 вольт, на индуктивности останется 0,453 вольт за время =3,5 секунды.

ОБЗОР:

• Формула универсальной постоянной времени:
• Чтобы проанализировать RC или L / R цепь, выполните следующие действия:
• (1):Определите постоянную времени для цепи (RC или L / R).
• (2):Определите величину, которая будет рассчитана (любая величина, изменение которой прямо противоположно реактивной составляющей. Для конденсаторов это напряжение; для катушек индуктивности это ток).
• (3):определите начальное и конечное значения для этого количества.
• (4):вставьте все эти значения (конечное, начало, время, постоянная времени) в универсальную формулу постоянной времени и решите для изменения в количестве.
• (5):если начальное значение было нулевым, то фактическое значение в указанное время равно вычисленному изменению, заданному универсальной формулой. Если нет, добавьте изменение к начальному значению, чтобы узнать, где вы находитесь.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:

• Рабочий лист схем постоянной времени
• Таблица расчетов постоянной времени

Просмотрите нашу коллекцию Калькуляторы мощности в нашем Инструменты раздел .