Теорема подстановки - пошаговое руководство с решенным примером

Анализ и решение электрических цепей с использованием теоремы подстановки

Теорема о подстановке

Как следует из названия, теорема подстановки используется для замены одного элемента схемы другим элементом. Но при замене элемента нужно иметь в виду, что поведение схемы не должно измениться.

Теорема о замещении утверждает, что

Эта теорема используется для доказательства нескольких теорем. Чтобы заменить ветвь сети, эта теорема сообщает нам граничные условия.

Если значение тока проходит через ветвь и известно значение напряжения на ветви, мы можем заменить эту ветвь другими элементами, такими как источник напряжения, источник тока, различные значения резисторов и т. д. при этом исходное состояние остается неизменным.

Эта теорема неприменима, когда цепь имеет более двух источников, соединенных последовательно или параллельно.

Публикация по теме:Теорема Тевенина. Пошаговое руководство с примером решения

Объяснение теоремы подстановки

Теорема подстановки — это замена любой ветви сети эквивалентной ветвью, состоящей из других элементов. В этой теореме, если какая-либо ветвь или элемент заменены источником напряжения и тока, который совпадает с исходной сетью, имеет напряжение и ток этой ветви.

Давайте разберемся в теореме подстановки с сетью, показанной на рисунке ниже.

Как показано на рисунке выше, он имеет два резистора, соединенных последовательно с источником постоянного тока. Теперь мы попробуем заменить любую ветвь или элемент другими элементами. Перед этим нам нужно знать напряжение и ток, которые проходят по всем ветвям.

Здесь эта схема имеет только один цикл. Поэтому ток проходит по всем ветвям и элементам одинаков. Этот ток можно определить, подав КВЛ в сеть.

Допустим, I количество тока, проходящего через контур.

+15 =5I + 10Я

15 =15I

Я =1А

Итак, ток, проходящий через каждый элемент, равен 1 А. Теперь нам нужно найти напряжение на всех элементах.

Одна ветвь имеет источник напряжения. Итак, мы не находим напряжение той ветки. Это напряжение делится на два резистора. И нам нужно найти напряжение на каждом резисторе. Его можно найти, применив правило делителя напряжения.

Итак, напряжение на резисторе 5 Ом равно;

Аналогично, напряжение на резисторе 10 Ом равно;

Публикация по теме:Теорема Нортона. Пошаговое руководство с примером решения

Заменить-1

Мы можем заменить ветвь резистора 10 Ом на источник напряжения 10 В, как показано на рисунке ниже.

Теперь примените KVL к сети,

+15–10 =5I

5 =5I

Я =1А

Таким образом, ток контура такой же, как и в исходной цепи. Теперь вычислите напряжение на элементах. Ветвь резистора 10 Ом заменена источником 10 В. Следовательно, напряжение на этой ветви равно 10 В. И это напряжение совпадает с напряжением этой ветви в исходной цепи.

Теперь найдите напряжение на ветви резистора 5 Ом. Через эту ветвь проходит ток 1А. Следовательно, согласно закону Ома;

V _{5 Ом} =1А × 5 =5В

Итак, ток проходит через все ответвления, а напряжение во всех ответвлениях такое же, как и в исходной сети.

Заменить-2

Удалите ветку резистора 5 Ом. И замените эту ветвь источником напряжения 5В. Принципиальная схема этой замены показана на рисунке ниже.

Теперь рассчитайте ток и напряжение всех ветвей и сравните их с исходной сетью.

Чтобы найти ток, проходящий через цикл, примените KVL;

+15–5 =10I

10 =10I

Я =1А

Поэтому контурный ток или ток, проходящий через элементы, совпадает с током, проходящим через исходную сеть.

Ветвь резистора 5 Ом заменена источником напряжения 5 В. Следовательно, напряжение этой ветви такое же, как и напряжение в исходной сети. Теперь нам нужно рассчитать напряжение на ветви резистора 10 Ом.

Ток, проходящий через ветвь резистора 10 Ом, составляет 1 А. По закону Ома;

V _{10 Ом} =ИК

V _{10 Ом} =1 × 10

V _{10 Ом} =+10 В

Итак, после замены резистора 5 Ом на источник напряжения 5 В поведение сети не изменилось.

Публикация по теме: Теорема о суперпозиции — анализ цепей с решенным примером

Заменить-3

Удалите ветвь резистора 10 Ом и замените ее источником тока 1 А. Принципиальная схема после замены показана на рисунке ниже.

В цепи есть источник тока. Поэтому ток, проходящий через петлю, такой же, как и величина тока источника. В этом состоянии к сети подключен источник тока 1А. Следовательно, ток, проходящий через петлю, равен 1 А, что соответствует току, проходящему через исходную сеть.

Теперь рассчитайте напряжение на резисторе 5 Ом и источнике тока 1 А.

В соответствии с законом Ома,

V _{5 Ом} =ИК

V _{5 Ом} =1 × 5

V _{5 Ом} =+5 В

Теперь найдите напряжение на источнике тока 1 А. Предположим, что напряжение на источнике тока 1 А равно В.

На рисунке выше;

+15 – 5 – В =0

V =+10 В

Итак, доказано, что напряжение и ток, проходящий через все элементы, такие же, как и в исходной сети после замены резистора 10 Ом на источник тока 1 А.

Публикация по теме:Теорема Миллмана. Анализ цепей переменного и постоянного тока. Примеры

Подстановка-4

Удалите ветвь резистора 10 Ом и замените ее резистором 5 Ом, подключенным последовательно к источнику напряжения 5 В. Принципиальная схема этого заменителя показана на рисунке ниже.

Теперь нам нужно найти текущие проходы в цикле. Итак, применим KVL к вышеуказанной сети.

15 – 5 =5I + 5Я

10 =10I

Я =1А

Итак, текущие проходы через элемент такие же, как и в исходной сети. Теперь найдите напряжение на всех элементах.

Чтобы найти напряжение на резисторе 5 Ом; мы используем закон Ома.

V _{5 Ом} =ИК

V _{5 Ом} =1 × 5

V _{5 Ом} =5 В

Теперь найдем напряжение в точках A и B.

Из приведенного выше рисунка видно, что ток, проходящий через резистор 5 Ом, равен 1 А. Итак, напряжение на этом элементе равно 5В. А общее напряжение между точками A и B равно

V _АВ =5 + V _{5 Ом}

V _АВ =5 + 5

V _АВ =+10В

Следовательно, после замены ветви резистора 10 Ом резистором 5 Ом и источником напряжения 5 В поведение сети остается прежним.

Итак, можно сказать, что существует несколько доступных методов поиска замены элемента любой сети без изменения напряжения и тока элемента и без изменения поведения сети. сети.

Публикация по теме: Теорема Теллегена — Решенные примеры и моделирование MATLAB

Шаги решения сети с помощью теоремы подстановки

Шаг 1 Найдите напряжение и ток всех элементов сети. Как правило, напряжение и ток можно рассчитать, просто используя KCL, KVL или закон Ома.

Шаг 2 Найдите соответствующую ветвь, которую вы хотите удалить с помощью другого элемента, такого как источник тока, источник напряжения или сопротивление.

Шаг 3 Найдите подходящее значение заменяемого элемента при условии, что напряжение и ток не должны изменяться.

Шаг 4 Проверьте новую цепь, рассчитав напряжение и ток всех элементов. И сравните его с исходной сетью.

Это все о теореме подстановки. Теперь давайте рассмотрим пример.

Похожая запись: Теорема о максимальной передаче мощности для цепей переменного и постоянного тока

Пример и решение теоремы о подстановке

Решите приведенную ниже схему, используя теорему подстановки, чтобы вычислить ток и напряжение на всех резисторах.

Шаг 1 Найдите напряжение и ток всех элементов. Для этого в этом примере мы применяем KVL к сети.

Применить KVL в цикле-1;

14 =6I ₁ – 4Я ₂ … (1)

Применить KVL в цикле-2;

0 =12I ₂ – 4Я ₁

12Я ₂ =4Я ₁

Я ₁ =3Я ₂ … (2)

Поместите это значение в уравнение-1;

14 =6(3I ₂ ) – 4Я ₂

14 =18I ₂ – 4Я ₂

14 =14I ₂

Я ₂ =1А

Из уравнения-2;

Я ₁ =3А

Шаг 2 Теперь мы удалим ответвления петли-1 и создадим одну петлю.

Шаг 3 Мы можем поставить источник напряжения или источник тока вместо резистора 4 Ом. Здесь мы поместим текущий источник.

Ток, проходящий через петлю-2, составляет 1 А. Поэтому заменяем ветку на источник тока 1А. Итак, оставшаяся схема показана на рисунке ниже.

Шаг 4 Давайте проверим напряжение и ток всех элементов.

Эта сеть имеет один цикл. И этот цикл имеет текущий источник. Таким образом, значение тока, проходящего через контур, такое же, как значение источника тока.

Здесь значение текущего источника равно 1A. Следовательно, ток проходит через ветвь резистора 3 Ом, а ветвь резистора 5 Ом составляет 1 А, что совпадает с исходной сетью.

Теперь найдите напряжение на резисторе 3 Ом, используя закон Ома;

V _{3 Ом} =ИК

V _{3 Ом} =1 х 3

V _{3 Ом} =3В

Теперь найдите напряжение на резисторе 5 Ом, используя закон Ома;

V _{5 Ом} =ИК

V _{5 Ом} =1 х 5

V _{5 Ом} = 5В

Итак, напряжение и ток такие же, как и в исходной сети. Так работает теорема о подстановке.

Вместо источника тока, если мы выберем источник напряжения на шаге 3. В этом состоянии значение источника напряжения аналогично значению ветви резистора 4 Ом.

В исходной сети ток проходит через ветвь резистора 4 Ом;

Я ₁ – Я ₂ =3 – 1 =2А

Согласно закону Ома;

V _{4 Ом} =2 х 4 =8В

Итак, нам нужно соединить источник напряжения 8 В с сетью, а оставшаяся схема показана на рисунке ниже.