MATLAB для математического анализа: пределы, производные, интегралы

MATLAB решает задачи дифференциального и интегрального исчисления: пределы, производные, дифференциальные уравнения, интегралы. Легко строит графики сложных функций и находит экстремумы.

Эта глава — пределы и их свойства. Следующие — производные (дифференцирование) и интегралы.

Вычисление пределов: функция limit

Базовая форма: limit(expr) — предел при x→0. Нужен syms для символьных переменных.

Примеры

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))        % 5/7
limit((x - 3)/(x-1), 1)           % NaN (не существует)
limit(x^2 + 5, 3)                 % 14 (предел при x→3)

Общий синтаксис: limit(expr, var, a) — предел при var → a.

Пределы в Octave (пакет symbolic)

pkg load symbolic; symbols
x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7), x, 0)  % 0.7142857...

Проверка свойств пределов (теорема о пределе суммы/произведения/частного)

Функции: f = (3x+5)/(x-3), g = x²+1. Предел при x→4.

syms x
f = (3*x+5)/(x-3); g = x^2+1;
l1 = limit(f, 4)       % 17
l2 = limit(g, 4)       % 17
lAdd = limit(f+g, 4)   % 34
lSub = limit(f-g, 4)   % 0
lMult = limit(f*g, 4)  % 289
lDiv = limit(f/g, 4)   % 1

Свойства выполняются: предел суммы = сумма пределов и т.д.

В Octave

pkg load symbolic; symbols
x = sym("x"); f = (3*x+5)/(x-3); g = x^2+1;
subs(f,x,4), subs(g,x,4), subs(f+g,x,4), subs(f-g,x,4), subs(f*g,x,4), subs(f/g,x,4)

Левые и правые пределы

Если функция имеет разрыв в точке, предел не существует. Левосторонний ('left') и правосторонний ('right') пределы могут отличаться.

Пример: f(x) = (x-3)/|x-3| в точке x=3.

f = (x-3)/abs(x-3);
ezplot(f, [-1,5])          % график показывает скачок
l = limit(f, x, 3, 'left')   % -1
r = limit(f, x, 3, 'right')  % 1

Так как левый ≠ правому, предел в точке 3 не существует.