MATLAB — исчисление

MATLAB предоставляет различные способы решения задач дифференциального и интегрального исчисления, решения дифференциальных уравнений любой степени и вычисления пределов. Лучше всего то, что вы можете легко строить графики сложных функций и проверять максимумы, минимумы и другие стационарные точки на графике, решая исходную функцию, а также ее производную.

В этой главе будут рассмотрены проблемы исчисления. В этой главе мы обсудим концепции предварительного исчисления, то есть вычисление пределов функций и проверку свойств пределов.

В следующей главе Дифференциал , мы вычислим производную выражения и найдем локальные максимумы и минимумы на графике. Мы также обсудим решение дифференциальных уравнений.

Наконец, в разделе Интеграция главе мы обсудим интегральное исчисление.

Расчет лимитов

MATLAB предоставляет ограничение функция расчета лимитов. В самой простой форме лимит Функция принимает выражение в качестве аргумента и находит предел выражения, когда независимая переменная становится равной нулю.

Например, вычислим предел функции f(x) =(x³ + 5)/(х⁴ + 7), когда x стремится к нулю.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

ans =
   5/7

Предельная функция относится к области символьных вычислений; вам нужно использовать syms чтобы сообщить MATLAB, какие символьные переменные вы используете. Вы также можете вычислить предел функции, поскольку переменная стремится к некоторому числу, отличному от нуля. Чтобы вычислить lim _x->a (f(x)), мы используем команду limit с аргументами. Первое — это выражение, а второе — это число, которое x подходит, вот он a .

Например, вычислим предел функции f(x) =(x-3)/(x-1), когда x стремится к 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

ans =
   NaN

Возьмем другой пример,

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

ans =
   14

Вычисление лимитов с помощью Octave

Ниже приводится Octave-версия приведенного выше примера с использованием символического package, попробуйте выполнить и сравните результат —

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

ans =
   0.7142857142857142857

Проверка основных свойств лимитов

Алгебраическая предельная теорема обеспечивает некоторые основные свойства пределов. Они заключаются в следующем —

Давайте рассмотрим две функции —

f(x) =(3x + 5)/(x - 3)
г(х) =х² + 1.

Давайте вычислим пределы функций при стремлении x к 5 для обеих функций и проверим основные свойства пределов, используя эти две функции и MATLAB.

Пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код —

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Когда вы запускаете файл, он отображает -

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Проверка основных свойств пределов с помощью Octave

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Левый и правый пределы

Когда функция имеет разрыв для некоторого конкретного значения переменной, предела в этой точке не существует. Другими словами, пределы функции f(x) имеют разрыв при x =a, когда значение предела при приближении x к x слева не равно значению предела при приближении x справа.

Это приводит к понятию левого и правого пределов. Левосторонний предел определяется как предел при x -> a слева, т. е. x приближается к a для значений x a справа, т. е. x приближается к a, для значений x> a. Когда предел для левой и правой сторон не равен, предел не существует.

Давайте рассмотрим функцию —

f(x) =(x - 3)/|x - 3|

Мы покажем, что lim_x->3 f(x) не существует. MATLAB помогает нам установить этот факт двумя способами —

Построение графика функции и отображение разрыва.
Рассчитывая пределы и показывая, что они разные.

Пределы для левой и правой руки вычисляются путем передачи символьных строк 'left' и 'right' команде limit в качестве последнего аргумента.

Пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код —

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Когда вы запускаете файл, MATLAB рисует следующий график

После этого отображается следующий вывод —

l =
   -1
  
r =
   1

MATLAB — Алгебра MATLAB — Дифференциал

MATLAB