MATLAB — Алгебра
До сих пор мы видели, что все примеры работают в MATLAB, а также в его GNU, альтернативно называемом Octave. Но для решения основных алгебраических уравнений и MATLAB, и Octave немного отличаются, поэтому мы постараемся охватить MATLAB и Octave в отдельных разделах.
Мы также обсудим факторизацию и упрощение алгебраических выражений.
Решение основных алгебраических уравнений в MATLAB
Решение функция используется для решения алгебраических уравнений. В простейшей форме функция решения принимает в качестве аргумента уравнение, заключенное в кавычки.
Например, давайте найдем x в уравнении x-5 =0
solve('x-5=0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Вы также можете вызвать функцию решения как -
y = solve('x-5 = 0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
y = 5
Вы можете даже не включать правую часть уравнения —
solve('x-5')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Если уравнение включает несколько символов, то MATLAB по умолчанию предполагает, что вы решаете для x, однако функция решения имеет другую форму —
solve(equation, variable)
где вы также можете указать переменную.
Например, решим уравнение v – u – 3t 2 =0, для v. В этом случае мы должны написать -
solve('v-u-3*t^2=0', 'v')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 3*t^2 + u
Решение основных алгебраических уравнений в октаве
корни функция используется для решения алгебраических уравнений в Octave, и вы можете написать приведенные выше примеры следующим образом —
Например, давайте найдем x в уравнении x-5 =0
Живая демонстрацияroots([1, -5])
Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Вы также можете вызвать функцию решения как -
Живая демонстрацияy = roots([1, -5])
Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
y = 5
Решение квадратных уравнений в MATLAB
Решение функция также может решать уравнения более высокого порядка. Часто используется для решения квадратных уравнений. Функция возвращает корни уравнения в виде массива.
В следующем примере решается квадратное уравнение x 2 -7x +12 =0. Создайте файл сценария и введите следующий код —
eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
The first root is: 3 The second root is: 4
Решение квадратных уравнений в октаве
В следующем примере решается квадратное уравнение x 2 -7x +12 =0 в октаве. Создайте файл сценария и введите следующий код —
Живая демонстрация
s = roots([1, -7, 12]);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
The first root is: 4 The second root is: 3
Решение уравнений высшего порядка в MATLAB
Решение функция также может решать уравнения более высокого порядка. Например, давайте решим кубическое уравнение как (x-3) 2 (х-7) =0
solve('(x-3)^2*(x-7)=0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 3 3 7
В случае уравнений более высокого порядка корни длинные, содержащие много членов. Вы можете получить числовое значение таких корней, преобразовав их в двойные. В следующем примере решается уравнение четвертого порядка x 4 − 7x 3 + 3x 2 − 5x + 9 =0.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Когда вы запускаете файл, он возвращает следующий результат —
The first root is: 6.630396332390718431485053218985 The second root is: 1.0597804633025896291682772499885 The third root is: - 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i The fourth root is: - 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root 1.0598 Numeric value of third root -0.3451 - 1.0778i Numeric value of fourth root -0.3451 + 1.0778i
Обратите внимание, что последние два корня являются комплексными числами.
Решение уравнений высшего порядка в октаве
В следующем примере решается уравнение четвертого порядка x 4 − 7x 3 + 3x 2 − 5x + 9 =0.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
Живая демонстрация
v = [1, -7, 3, -5, 9];
s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Когда вы запускаете файл, он возвращает следующий результат —
Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root -0.34509 + 1.07784i Numeric value of third root -0.34509 - 1.07784i Numeric value of fourth root 1.0598
Решение системы уравнений в MATLAB
Решение Функцию также можно использовать для генерации решений систем уравнений, включающих более одной переменной. Давайте рассмотрим простой пример, чтобы продемонстрировать это использование.
Давайте решим уравнения —
5x + 9y =5
3x – 6y =4
Создайте файл сценария и введите следующий код —
s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
ans = 22/19 ans = -5/57
Таким же образом вы можете решать более крупные линейные системы. Рассмотрим следующий набор уравнений —
х + 3у -2г =5
3x + 5y + 6z =7
2x + 4y + 3z =8
Решение системы уравнений в октаве
У нас немного другой подход к решению системы «n» линейных уравнений с «n» неизвестными. Давайте рассмотрим простой пример, чтобы продемонстрировать это использование.
Давайте решим уравнения —
5x + 9y =5
3x – 6y =4
Такая система линейных уравнений может быть записана как одно матричное уравнение Ax =b, где A — матрица коэффициентов, b — вектор-столбец, содержащий правую часть линейных уравнений, а x — вектор-столбец, представляющий решение как показано в программе ниже –
Создайте файл сценария и введите следующий код —
Живая демонстрацияA = [5, 9; 3, -6]; b = [5;4]; A \ b
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
ans = 1.157895 -0.087719
Таким же образом вы можете решать более крупные линейные системы, как показано ниже —
х + 3у -2г =5
3x + 5y + 6z =7
2x + 4y + 3z =8
Раскрытие и сбор уравнений в MATLAB
развернуть и собирать функция расширяет и собирает уравнение соответственно. В следующем примере демонстрируются концепции —
Когда вы работаете со многими символьными функциями, вы должны объявить, что ваши переменные являются символьными.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
syms x %symbolic variable x syms y %symbolic variable x % expanding equations expand((x-5)*(x+9)) expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7)) expand(sin(2*x)) expand(cos(x+y)) % collecting equations collect(x^3 *(x-7)) collect(x^4*(x-3)*(x-5))
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
ans = x^2 + 4*x - 45 ans = x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210 ans = 2*cos(x)*sin(x) ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) ans = x^4 - 7*x^3 ans = x^6 - 8*x^5 + 15*x^4
Раскрытие и сбор уравнений в октаве
Вам необходимо иметь символический пакет, который обеспечивает расширение и собирать функция для расширения и сбора уравнения соответственно. В следующем примере демонстрируются концепции —
Когда вы работаете со многими символьными функциями, вы должны объявить, что ваши переменные являются символическими, но Octave использует другой подход к определению символьных переменных. Обратите внимание на использование слова Sin. и Кос , которые также определены в пакете символов.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic
% make symbols module available
symbols
% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
ans = -45.0+x^2+(4.0)*x ans = 210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x ans = sin((2.0)*x) ans = cos(y+x) ans = x^(3.0)*(-7.0+x) ans = (-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)
Факторизация и упрощение алгебраических выражений
фактор функция факторизует выражение, а функция simplify функция упрощает выражение. Следующий пример демонстрирует концепцию —
Пример
Создайте файл сценария и введите следующий код —
syms x syms y factor(x^3 - y^3) factor([x^2-y^2,x^3+y^3]) simplify((x^4-16)/(x^2-4))
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
ans = (x - y)*(x^2 + x*y + y^2) ans = [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)] ans = x^2 + 4
MATLAB