Теорема Теллегена — Решенные примеры и моделирование MATLAB

Теорема Теллегена — пошаговое руководство с примерами решений

Что такое теорема Теллегена?

Теорема Теллегена был опубликован голландским инженером-электриком и изобретателем Бернардом Д. Х. Теллегеном. в 1952 г. Эта теорема является наиболее важной и основной теоремой среди других теорем сетевого анализа. Большинство других теорем выводятся из этой теоремы.

Теорема Теллегена зависит от закона Кирхгофа. Следовательно, эту теорему можно применить к сети, подчиняющейся закону Кирхгофа. Эта теорема может быть применена к широкому спектру сетей, имеющих линейные или нелинейные, изменяющиеся во времени или неизменяемые, пассивные или активные элементы.

Теорема Теллегена утверждает, что

Теорема Теллегена работает на основе закона сохранения энергии. Эта теорема используется в химических и биологических приложениях для определения динамического поведения физической сети. При обработке сигналов эта теорема используется для разработки фильтров.

• Публикация по теме:Теорема Тевенина. Пошаговое руководство с примером решения

Математическое уравнение

Для общего анализа теоремы мы считаем, что в сети задано n элементов. Мгновенный ток, проходящий через элемент, равен i₁ , я₂ , я₃ , …., я_н . А мгновенное напряжение этой ветки равно v₁ , v₂ , v₃ , …., v_н .

Поэтому мгновенные ток и напряжение элемента-1 равны i₁ и v₁ . Мгновенная мощность (p₁ ) потребляется этим элементом v₁ я₁ .

p ₁ =v ₁ я ₁

Мгновенная мощность элемента-2 равна (p ₂ );

p ₂ =v ₂ я ₂

Аналогично мгновенная мощность n ^th элемент (p _н );

p_n =v_n я_н

Согласно теореме Теллегена, сумма всех мгновенных мощностей равна нулю. Это означает, что нам нужно просуммировать все мгновенные мощности p₁ , р₂ , п₃ , …., р_n .

p ₁ + п ₂ + п ₃ + … + p_n <эм> = 0

v ₁ я ₁ + v ₂ я ₂ + v ₃ я ₃ + … + v_n я_н  = 0

В общем виде мы можем написать приведенное выше уравнение для k ^го филиал;

Где

• n =общее количество филиалов в сети
• v_k =мгновенное напряжение k ^th филиал
• i_k =мгновенный ток k ^th филиал
• p_k =мгновенная мощность k ^th филиал

Теперь рассмотрим рисунок ниже, так как ветвь AB равна ветви k.

Поэтому мгновенное напряжение v_k ;

v_k =v_а – v_b

И мгновенный ток, проходящий через ветвь (от a до b), равен i_k ;

i_k =я_ab

Итак, мгновенная мощность p_k есть;

p_k =v_к я_к =(v_а – v_b ) я_ab ….. (1)

Теперь рассмотрим противоположное направление мгновенного тока (от b к a);

i_ab =– i_ab

Мгновенное напряжение;

v_k =v_b – v_а

Мгновенная мощность p_k есть;

p_k =v_к я_к =(v_b – v_а ) я_ба ….. (2)

Суммирование уравнений-1 и 2;

2v_k я_к =(v_a –в _b )я _аб <я> + (v_b – v_a ) i_ba

v_k я_к =1/2 [(v_a –в _b )я _аб <я> + (v_b – v_а ) я_ба ] ….. (3)

Это уравнение можно записать, как показано ниже для n-ветвей;

Согласно закону тока Кирхгофа алгебраическая сумма токов равна нулю в узле цепи.

Следовательно,

Если мы подставим это значение в уравнение-4, мы получим;

Таким образом, доказано, что сумма мощности, подаваемой в сеть, равна нулю. Таким образом, доказана теорема Теллегена. Также описано, что сумма мощности, поглощаемой элементами сети, равна сумме мощности, отдаваемой источниками.

• Публикация по теме:Теорема Нортона. Пошаговое руководство с примером решения

Шаги, которые нужно выполнить для теоремы Теллегена

Нам нужно выполнить следующие шаги, чтобы решить любую электрическую сеть с помощью теоремы Теллегена.

Шаг 1: Нам нужно найти количество ветвей в данной электрической сети. Затем найдите мощность, рассеиваемую на каждой ветви. Чтобы найти мощность, нам нужно найти напряжение или ток этой ветви с помощью любого обычного метода анализа.

Шаг 2: Найдите мгновенную мощность каждой ветви.

Шаг 3: Ветка, имеющая источник энергии, считается энергоснабжающей веткой. А ветка с другими элементами считается энергопоглощающей веткой. Теперь определите ветвь передачи энергии и ветвь поглощения энергии.

Шаг 4. Примите положительный знак в питающей ветви и отрицательное падение напряжения в потребляющей ветви. Вы также можете принять обратные знаки. Но не может меняться во всем примере.

Шаг 5: Чтобы обосновать теорему Теллегена, нам нужно добавить все мощности, рассчитанные по всем ветвям. И эта сумма всегда равна нулю.

• Публикация по теме: Анализ схемы SUPERMESH — шаг за шагом с решенным примером

Давайте разберемся на примере.

Пример решения теоремы Теллегена

Пример №1

Обоснуйте теорему Теллегена для приведенной ниже сети.

Решение:

Шаг 1: Данная схема сети имеет 5 ответвлений. Чтобы рассчитать мгновенную мощность, нам нужно найти ток, проходящий через каждую ветвь. Для этого мы применим KVL к сети.

Применить KVL к циклу-1;

15 =12I ₁ – 3Я ₂

Применить KVL к циклу-2;

12 =– 3I ₂ + 6Я ₂

Решая приведенные выше уравнения, мы можем найти значения тока контура I₁ и я₂ . И эти значения;

Я ₁ =2А

Я ₂ =3А

Шаг 2: Ток, проходящий через ветвь-3, составляет;

Я _{1 2} =Я ₂ – Я ₁ =3 – 2 =1А

Ток течет по всем ветвям. Теперь найдите мощность каждой ветви.

P ₁ =В I ₁ =15 х 2 =30 Вт

P ₂ =R ₁ Я ₁ ² =9 х 4 =36 Вт

P ₃ =R ₁ Я ₁₂ ² =3 х 1 =3 Вт

P ₄ =R ₃ Я ₂ ² =3 х 9 =27 Вт

P ₅ =В I ₂ =12 х 3 =36 Вт

Шаг 3: Есть две ветки с источниками. Эти ветви являются ветвями, передающими энергию, а остальные три ветви являются ветвями, поглощающими энергию.

Здесь, для данного примера, мы предполагаем, что знак ветви, передающей энергию, положительный, а знак ветви, поглощающей энергию, отрицательный. Таким образом, ветви 1 и 5 являются ветвями подачи энергии, а остальные ветви являются ветвями поглощения энергии.

Шаг 4. Знак мощности P₁ и P₅ положителен (отводящие ветви) и знак P₂ , P₃ и P₄ имеет отрицательное значение (ветви, поглощающие энергию).

Шаг 5: Теперь нам нужно найти сумму мощности, рассеиваемой всеми ветвями.

P ₁ – П ₂ – П ₃ – П ₄ + П ₅ =30Вт – 36Вт – 3Вт – 27Вт + 36Вт =0Вт

Итак, сумма мгновенной мощности равна нулю. И, следовательно, эта теорема доказана.

• Похожая статья:Анализ схемы СУПЕРУЗЛА — шаг за шагом с решенным примером

Пример №2

Найдите напряжение на источнике тока 6 А, используя теорему Теллегена.

Решение:

Шаг 1: Нам нужно рассчитать напряжение или ток, проходящий через элемент. Для этого мы применяем KCL или KVL к данной сети.

Применить KVL к циклу-2;

-12 =8I ₂ – 6Я ₁

Текущие проходы через ветку с текущим источником I ₁;

Я ₁ =6А

Поместите это значение в приведенное выше уравнение;

-12 =8I ₂ – 6(6)

-12 =8I ₂ – 36

36 – 12 =8I ₂

24 =8I ₂

Я ₂ =3А

Шаг 2: Ток проходит по ветке-2 есть;

Я ₁₂ =Я ₁ – Я ₂ =6 – 3 =3А

Теперь найдите силу каждой ветви;

P ₁ =В I ₁ =В х 6 =6 х В

P ₂ =R ₁ Я ₁₂ ² =6 х 9 =54 Вт

P ₄ =R ₂ Я ₂ ² =2 х 9 =18 Вт

P ₄ =В I ₂ =-12 x 3 =-36 Вт

Шаг 3: Здесь две ветви, имеющие источники энергии. Следовательно, мы должны рассматривать эти ветви как энергоснабжающие. И установите положительный знак на мгновенную мощность.

Две другие ветки имеют только резисторы. Таким образом, эти ветви являются потребляющими мощность ветвями и устанавливают отрицательный знак для мгновенной мощности.

Шаг 4. Мощность P₁ и P₄ имеют положительный знак и мощность P₂ и P3 имеют отрицательный знак.

Шаг 5: Теперь нам нужно суммировать всю мгновенную мощность.

P ₁ – П ₂ – П ₃ + П ₄ =0 Вт

P ₁ – 54 – 18 + 36 =108 Вт

Мощность источника тока 6 А составляет 108 Вт. Следовательно, напряжение на источнике тока рассчитывается по формуле;

P ₁ =В I

108 Вт =В x 6 А

В =18 В

Поэтому напряжение на источнике тока составляет 18 В.

• Похожая запись: Теорема о максимальной передаче мощности для цепей переменного и постоянного тока

Анализ и моделирование теоремы Теллегена с использованием MATLAB  

Цель:

Докажите теорему Теллегена для принципиальной схемы, приведенной в приведенном выше примере.

Требование: МАТЛАБ

Теория:

Согласно теореме Теллегена, сумма мгновенных мощностей всех ветвей равна нулю. Чтобы доказать эту теорему, нам нужно вычислить мгновенную мощность всех ветвей.

Чтобы найти мгновенную мощность, нам нужно рассчитать напряжение или ток всех ветвей. Для этого мы можем использовать теоремы KCL или KVL. Но здесь мы будем использовать модель MATLAB Simulink, чтобы найти ток и напряжение.

Мы также можем использовать другое программное обеспечение, такое как multisim, psim и т. д. Мы построим принципиальную схему в модели Simulink. По модели Simulink можно найти напряжение и ток каждой ветви.

После этого вы можете найти мгновенную мощность по напряжению и току. Вы можете напрямую найти мгновенную мощность из некоторого программного обеспечения.

Модель MATLAB Simulink

На рисунке ниже показана принципиальная схема приведенного выше примера.

На этом рисунке мы можем напрямую определить напряжение и ток с дисплея. Вы можете сравнить эти значения, рассчитав напряжение и ток с помощью KCL или KVL.

Расчет

После расчета напряжения или тока можно найти мгновенную мощность. Или вы можете напрямую найти мгновенную мощность из программного обеспечения. Все, что нам нужно, это мгновенная мощность. И после этого нам нужно добавить все полномочия.

Сумма мощностей всегда равна нулю. В этом примере мы сравниваем значения напряжения и тока, полученные из Simulink, и те же значения, рассчитанные в предыдущем примере с использованием KVL и KCL. Эти значения совпадают.

Эти значения также рассчитываются путем подключения резисторов и источников на макетной плате. А напряжение и ток, проходящий по всем ветвям, мы можем измерить с помощью вольтметра и амперметра.

Таким образом, теорема Теллегена доказана.

• Связанная запись:Закон Кирхгофа о токе и напряжении (KCL &KVL) | Решенный пример

Применение теоремы Теллегена

Эта теорема очень фундаментальна и широко используется в анализе цепей. Существует множество приложений этой теоремы. Некоторые приложения перечислены ниже.

• Эта теорема очень полезна при проектировании фильтров в приложениях цифровой обработки сигналов.
• Эта теорема используется в химической технологии для определения устойчивости химических установок.
• Эта теорема применима к системе с сосредоточенными параметрами, имеющей линейно-нелинейные, активно-пассивные, изменяющиеся во времени/неизменные во времени элементы.
• Эта теорема используется в биологическом процессе.
• Используется в топологии и анализе реакции конструкции.
• Он также используется для определения динамического поведения физической сети.

Связанные учебные пособия по анализу электрических цепей:

• Теорема о суперпозиции — анализ цепей с решенным примером
• Калькулятор по правилу Крамера – система из 2 и 3 уравнений для электрических цепей
• Мост Уитстона — схема, работа, происхождение и применение
• Калькуляторы для электротехники и электроники
• 5000+ формул и уравнений для электротехники и электроники