Влияние поверхностного рассеяния электронов на отношения оптического поглощения и рассеяния к исчезновению золотой наноболочки

Фон

Золотая нанооболочка состоит из диэлектрического сердечника, который может быть кремнеземом или Au . ₂ S [1, 2] и концентрическую оболочку из золота. Благодаря биосовместимости золота [3, 4], легкому конъюгации антител и нацеленных фрагментов на поверхность золотой оболочки [5], возможности настройки его резонансной длины волны на ближнюю инфракрасную область [2, 6] и область, называемую биологическим водяным окном, где проницаемость тканей самая высокая [7], улучшенное рассеяние и поглощение света золотой нанооболочкой нашло применение в биомедицинской визуализации и фототермической терапии [8, 9]. Расширение теории Ми для структуры ядро-оболочка может быть использовано для расчета сечений оптического поглощения и рассеяния одной золотой нанооболочки [10], и сумма этих двух дает сечение экстинкции. Поскольку толщина золотой нанооболочки обычно меньше или сравнима со средней длиной свободного пробега электрона в массивном золоте, которая составляет около 37,7 нм [11], электроны в золотой оболочке подвергаются большему количеству столкновений в единицу времени (дополнительные столкновения, вызванные рассеянием электронов проводимости с поверхности оболочки), чем в массивном золоте [12, 13]. Сообщалось, что поверхностное рассеяние электронов проводимости вызывает уширение резонансного пика, что было подтверждено подгонкой измеренных и рассчитанных спектров [6, 14,15,16], а также уменьшение абсолютных значений как рассеяния, так и поглощения одиночной нанооболочки. что было продемонстрировано теоретическими расчетами [17,18,19]. Однако для приложений биомедицинской визуализации на основе рассеяния [9, 20, 21], где металлические наночастицы или флуоресцентные материалы прикреплены к ткани или клеткам-мишеням, если желательно только изображение, а не термическое повреждение исследуемой ткани или клеток, необходимо Важно, чтобы прикрепленная наночастица имела высокий коэффициент рассеяния и низкий коэффициент поглощения на желаемой длине волны. Причина, по которой отношения рассеяния и поглощения, но не их абсолютные значения, вызывают озабоченность, заключается в том, что уменьшение абсолютных значений рассеяния и поглощения может быть компенсировано за счет большего количества частиц, прикрепленных к ткани или клеткам-мишеням. Применение резонансного рассеяния света металлическими наночастицами в прозрачном проекционном экране [22,23,24,25] и в фотовольтаике [26,27,28,29,30] также требует одновременного высокого рассеяния и низких коэффициентов поглощения в желаемом диапазоне длин волн. . Более того, золотые метаматериалы также требуют, чтобы золото имело форму тонкой пленки, которая может обеспечивать высокое оптическое поглощение в качестве поглотителя света [31, 32] или высокое пропускание в виде прозрачной проводящей пленки [33,34,35,36], и, таким образом, эффект поверхностного рассеяния электронов проводимости также играет роль. Следовательно, он может дать некоторые рекомендации по разработке наноразмерной структуры, связанной с золотом, для исследования влияния поверхностного рассеяния электронов на отношения оптического поглощения и рассеяния к экстинкции для золотых нанооболочек.

В этой работе сначала проводится моделирование для изучения влияния поверхностного рассеяния электронов на отношения оптического поглощения и рассеяния к экстинкции золотых нанооболочек с учетом ситуаций с поверхностным рассеянием и без него. Показано, что поверхностное рассеяние электронов увеличивает коэффициент оптического поглощения и, следовательно, снижает коэффициент рассеяния света, и чем меньше толщина оболочки, тем больше увеличивается коэффициент оптического поглощения. Затем повышенное поглощение подтверждается экспериментально для трех образцов путем сравнения их измеренного и смоделированного поглощения, а также спектров экстинкции.

Результаты моделирования и экспериментов будут показаны сначала в разделе «Результаты и обсуждение», а затем подробный метод оптических измерений экстинкции и поглощения предоставлен в разделе «Методы / Экспериментальная часть», чтобы избежать ненужной путаницы, вызванной описанием оптические измерения.

Результаты и обсуждение

Золотые нанооболочки с четырьмя разными толщинами оболочки, но с одинаковым диаметром сердцевины исследуются с помощью моделирования. Золотые нанооболочки включают (ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 15 нм), (ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 25 нм), (диаметр 80 нм). ядро из диоксида кремния) @ (золотая оболочка толщиной 35 нм) и (ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 45 нм).

После взаимодействия параллельных падающих лучей света с одной наночастицей, помимо непосредственно переданных (распространяющихся в исходном направлении падающего света), свет либо поглощается, либо рассеивается, и сумма этих двух называется экстинкцией [37 ]. Рассеяние, поглощение и экстинкция, квантованные в терминах поперечных сечений, которые можно интуитивно воспринимать как площадь площади света, удаленного с пути падающего света из-за рассеяния, поглощения или экстинкции соответственно, можно рассчитать с помощью расширения теории Ми. для структуры ядро-оболочка [10]. Однако более естественно нормировать поперечные сечения на геометрическое поперечное сечение наночастицы, πR ² , где R - внешний радиус структуры ядро-оболочка, с целью сравнения между различными структурами, и отношение j поперечное сечение ( j =поглощение, рассеяние или экстинкция) к геометрическому поперечному сечению обозначается как j эффективность.

Эффективности экстинкции и поглощения без учета эффекта поверхностного рассеяния рассчитываются с использованием диэлектрической функции объемного золота [38] в качестве входных данных для теории Ми, и они показаны красными линиями (сплошными или пунктирными) на рис. 1. Для учета Из-за эффекта поверхностного рассеяния предполагается, что диэлектрическая функция золота имеет компонент модели Друде для описания поведения свободных электронов [39] и дополнительный демпфирующий член γ _s вносимое поверхностным рассеянием электронов проводимости добавляется к объемному затуханию γ _b в члене Друде, чтобы получить скорректированную диэлектрическую проницаемость ε _sh для золотой ракушки [19]:

где ε _exp объемная диэлектрическая проницаемость золота из ссылки [38], ω _p - плазменная частота золота, ω - частота падающего света, а i это мнимое число. Для расчетных значений КПД с эффектом поверхностного рассеяния на рис. 1 (синие линии, сплошные или пунктирные) ω _p и γ _b приняты равными 8,55 эВ и 18,4 мэВ соответственно [19]. И γ _s дается [19]:

где v _F - фермиевская скорость электронов в золоте, равная 1,40 × 10 ⁶ м / с [19] и л _B - эффективная длина свободного пробега электронов в оболочке, полученная в предположении бильярдной модели рассеяния [13], в которой отражения электронов от двух поверхностей оболочки являются зеркальными, и определяется выражением

где r _о и r _я - внешний и внутренний радиус нанооболочки соответственно. Показатели преломления окружающей среды и ядра кремнезема приняты равными 1,5 и 1,45 соответственно.

Расчетные эффективности экстинкции и поглощения с учетом и без учета поверхностного рассеяния электронов проводимости, где Q _ext (Ext) означает эффективность вымирания (нормализованное вымирание), а Q _абс (Abs) означает эффективность поглощения (нормализованное поглощение). Эффективность рассеяния (нормализованное рассеяние) - это разница между Q _ext (Ext) и Q _абс (Абс). Все расчеты выполнены по теории Ми, при этом индексы кремнезема и окружающей среды приняты равными 1,45 и 1,5 соответственно. Диэлектрические проницаемости золота без поверхностного рассеяния взяты из работы [38], а с поверхностным рассеянием - по формулам. (1) ~ (3) . а и b для (ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 15 нм). c и d для (ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 25 нм). е и е для (ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 35 нм). г и h для (ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 45 нм). Левый столбец, т. Е. a , c , e , и g , - соответствующие значения КПД, рассчитанные по теории Ми. Правый столбец, т. Е. b , d , и f , - эффективности, нормированные на пик диполярного резонанса (пик резонанса между 700 и 800 нм), и h эффективности, нормированные на пик квадрупольного резонанса (пик между 550 и 600 нм)

Из левого столбца на рис.1 для четырех толщин оболочки после учета эффекта поверхностного рассеяния видно, что спектры экстинкции и поглощения испытывают уширение и что, в то время как спектры экстинкции уменьшаются по величине, спектры поглощения увеличиваются. много на пике диполярного резонанса (пик между 700 и 800 нм) и, кажется, не меняется на пике квадрупольного резонанса (пик между 550 и 600 нм). Уменьшение величины эффективности экстинкции и увеличение величины эффективности поглощения приводят к увеличению отношения поглощения к экстинкции после включения эффекта поверхностного рассеяния. Это подтверждается правым столбцом на рис. 1, где наблюдается увеличение поглощения (т. Е. Синие пунктирные линии находятся над красными пунктирными линиями) как в диполярном, так и в квадрупольном положениях пиков. Интуитивно понятно, что увеличение коэффициента поглощения после учета эффекта поверхностного рассеяния становится менее значительным с увеличением толщины оболочки, как можно наблюдать на (b), (d), (f) и (h) на рис. 1. Это связано с тем, что чем толще оболочка, тем меньше частота столкновений электронов с поверхностями оболочки, т. е. уменьшается эффект поверхностного рассеяния. Это явление также подтверждается таблицей 1. Для каждой толщины оболочки коэффициент поглощения с (без) поверхностным рассеянием, рассчитанный как отношение области под синей (красной) пунктирной кривой к области под синей (красной) сплошной кривой. , приведена в таблице 1. Для дальнейшего изучения механизма увеличения коэффициента поглощения, пространственное распределение квадрата амплитуды ближнего электрического поля | E | ² изображены на рис. 2. На рис. 2 можно заметить, что | E | ² s рассчитанные без поверхностного рассеяния больше, чем с поверхностным рассеянием, что можно объяснить следующим образом:если предположить, что поверхностное рассеяние имеет эффект, электроны проводимости испытывают большее количество столкновений с поверхностями оболочек, чем в массивном золоте, поэтому средняя амплитуда колебаний электронов проводимости равна уменьшилось, что привело к уменьшению | E | ² s . А поскольку столкновения электронов проводимости с поверхностями оболочки способствуют потере энергии в виде тепла, коэффициент поглощения увеличивается после включения эффекта поверхностного рассеяния.

Квадрат амплитуды ближнего электрического поля | E | ² графики четырех структур, показанных на рис. 1, при соответствующих длинах волн пиков дипольного резонанса. а и b построены для (ядро диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 15 нм) при 700 нм. c и d построены для (ядро диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 25 нм) при 684 нм. е и е построены для (ядро диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 35 нм) при 706 нм. г и h построены для (ядро диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 45 нм) при 756 нм. Левый столбец, т. Е. a , c , e , и g , показывает | E | ² рассчитано с диэлектрической проницаемостью объемного золота из справочника [38]. Правый столбец, т. Е. b , d , f , и h , показывает | E | ² рассчитывается с диэлектрической проницаемостью золота, модифицированной с помощью поверхностного рассеяния, по формулам. (1) ~ (3). Поляризация и направление распространения падающего света одинаковы для всех фигур и показаны на a . . Моделирование проводится в программе «FDTD Solutions» с размером сетки области коррекции трехмерной сетки, равным 1 нм

В зависимости от наличия материала, поглощение и экстинкция экспериментально измеряются для трех нанооболочек с разной толщиной оболочки, но с одинаковыми диаметрами сердцевины:(ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 16 нм), (диаметр 79 нм). ядро из диоксида кремния) @ (золотая оболочка толщиной 29 нм) и (ядро из диоксида кремния диаметром 88 нм) @ (золотая оболочка толщиной 36 нм), чьи ПЭМ-изображения показаны на рис. 3. На рис. 4 показано сравнение между экспериментально измеренными и теоретически смоделированными результатами для трех нанооболочек. На рис.4 видно, что рассчитанные сечения поглощения с учетом эффекта поверхностного рассеяния хорошо согласуются с результатами измерений для всех трех нанооболочек, в то время как между измеренными и смоделированными поглощениями наблюдается большое расхождение, если поверхность эффект рассеивания не учитывается.

ПЭМ-изображения трех золотых нанооболочек, использованных в экспериментальных измерениях. а Ядро из кремнезема диаметром 80 нм, золотая оболочка толщиной 16 нм. б Сердцевина из диоксида кремния диаметром 79 нм, золотая оболочка толщиной 29 нм. c Ядро из кремнезема диаметром 88 нм, золотая оболочка толщиной 36 нм. Подробная информация о характеристиках представлена ​​во вспомогательной информации

Сравнение измеренных и рассчитанных спектров поглощения с учетом и без учета поверхностного рассеяния электронов проводимости. Все расчеты проводятся по теории Ми. Окружающая среда - ПВС (поливиниловый спирт) с показателем преломления 1,5. Обратите внимание, что окружающая среда нанооболочек в нашем эксперименте (ПВС, n =1,5) отличается от описания воды в листе характеристик, содержащемся во вспомогательной информации. Поверхностно-активными веществами, покрывающими нанооболочки, можно пренебречь, поскольку поверхностно-активные вещества представляют собой тонкий полимер и имеют такой же показатель преломления, как и окружающая среда ПВС. В расчетах показатель преломления кремнезема принят равным 1,45. Диэлектрические проницаемости золота без поверхностного рассеяния взяты из работы [38], а с поверхностным рассеянием - по формулам. (1) и (4). Во всех подписях к рисункам «Ext» - сокращение от экстинкции, «Abs» - от поглощения, а «SC» - от поверхностного рассеяния. На каждом рисунке «Ext рассчитано» и «Abs, рассчитано с SC» - это спектры экстинкции и поглощения, рассчитанные с параметрами подгонки, показанными в таблице 2, а «Abs, рассчитанное без SC» - это сечение поглощения, рассчитанное без учета распределения по размерам и поверхности. рассеяние. а (Ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 16 нм). б (Ядро из диоксида кремния диаметром 79 нм) @ (золотая оболочка толщиной 29 нм). c (Ядро из диоксида кремния диаметром 88 нм) @ (золотая оболочка толщиной 36 нм)

Чтобы согласовать рассчитанные поглощения (сплошные синие линии) с экспериментально измеренными поглощениями (сплошные красные линии), которые показаны на рис. 4, выражение дополнительного затухания γ _s в формуле. (1) из-за поверхностного рассеяния дается формулой. (4) показано ниже [15], вместо уравнения. (2).

где A является безразмерным подгоночным параметром и большим A указывает на большее демпфирование и d _s толщина оболочки. Подгоночный параметр A зависит от многих факторов:электронной плотности на поверхности, эффекта границы раздела, анизотропии частиц и квантово-механических расчетов, и было показано, что его значение находится в диапазоне от 0,1 до более 2 [40, 41]. Обратите внимание, что мы можем написать уравнение. (2) в виде уравнения. (4) сравнить теоретическое значение A предсказанное бильярдной моделью рассеяния к моделям, подобранным из эксперимента, сначала вычислив значение L _B в формуле. (2) используя уравнение. (3), а затем написать L _B в формуле. (2) в виде d _s / А , как показано в формуле. (5a) - (5d) ниже:

написать

затем

где

Обратите внимание, что когда толщина оболочки составляет менее 25% от общего радиуса, уравнение. (5d) дает A значение около 0,5 [13]. Значения подгоночных параметров для рассчитанных спектров трех нанооболочек, показанных на рис. 4, приведены в таблице 2.

Рассчитанные спектры экстинкции и поглощения, приведенные на рис. 4, которые нормированы на диполярный пик, учитывают поверхностное рассеяние и распределение по размерам. Для каждой нанооболочки стандартные отклонения диаметра сердцевины и толщины оболочки вычисляются соответственно путем умножения значений диаметра сердцевины и толщины оболочки, показанных в таблице 2, на коэффициент вариации, приведенный в таблицах характеристик, приведенных во вспомогательной информации. Диаметр сердечника, используемый в фитинге, превышает значения, указанные в таблицах характеристик. Это связано с тем, что размер сферического диоксида кремния уменьшается при исследовании с помощью просвечивающего электронного микроскопа [42, 43], а толщину оболочки получают путем вычитания диаметров сердцевины в таблице 2 из общих диаметров, приведенных в таблицах характеристик. Вычисленные ширины пиков спектров экстинкции настраиваются в соответствии с измеренными, а затем соответствующие спектры поглощения рассчитываются с настроенными параметрами. Значения A предсказанная бильярдной моделью рассеяния будет 0,60, 0,52 и 0,53 для трех нанооболочек соответственно, если уравнение. (5d), которые, очевидно, меньше, чем подогнанный A значения, перечисленные в таблице 2, которые составляют 1,33, 1,67 и 1,33 соответственно для трех нанооболочек. Поскольку большее значение A в формуле. (4) означает большее затухание свободных электронов, наблюдается, что фактическое затухание электронов проводимости больше, чем предсказывается моделью бильярдного рассеяния, где дополнительное затухание может быть связано с химической границей раздела между оболочкой и окружающей средой. а также кварцевое ядро ​​[44, 45], электронная плотность на поверхности, анизотропия частицы и квантово-механические вычисления, как упоминалось ранее. Возможность прерывистой оболочки можно исключить, наблюдая изображение ПЭМ на листе характеристик во вспомогательной информации. Обратите внимание, что расширение пика из-за распределения размеров нанооболочек уже учитывалось во время подгонки, то есть подгоняемые значения A не учитывает распределение по размерам. Подробности того, как измерить экстинкцию и поглощение, описаны в разделе «Методы / Экспериментальная часть».

Методы / экспериментальные

В этом разделе для нанооболочек, исследованных на рис. 4, описано, как диспергировать их в тонкие пленки ПВС (поливинилового спирта) и как получить экстинкцию и поглощение этих нанооболочек на основе оптических измерений тонких пленок ПВС с дисперсными наночастицами.

Три нанооболочки, исследованные на рис. 4, т.е. (ядро из диоксида кремния диаметром 80 нм) @ (золотая оболочка толщиной 16 нм), (ядро из диоксида кремния диаметром 79 нм) @ (золотая оболочка толщиной 29 нм) , и (ядро из диоксида кремния диаметром 88 нм) @ (золотая оболочка толщиной 36 нм), которые для удобства в нижеследующем обсуждении сокращенно обозначаются как золотые нанооболочки 16 нм, 29 нм и 36 нм соответственно, были приобретены непосредственно у специализированной компании nanoComposix, и их характеристики приведены во вспомогательной информации (дополнительный файл 1).

При получении нанооболочки были диспергированы в воде, при этом золотая нанооболочка размером 16 нм имела концентрацию 0,02 мг / мл, а две другие - 0,05 мг / мл. Для золотых нанооболочек размером 16 нм, 29 нм и 36 нм было использовано 34, 25 и 34 мл их растворов для изготовления пленки ПВС с дисперсными наночастицами. Перед смешиванием полученных растворов нанооболочек с порошком ПВС (гидролизованным на 80%, Sigma-Aldrich) каждый раствор нанооболочек концентрировали до 9 мл центрифугированием и повторным диспергированием. Затем к каждому концентрированному раствору нанооболочек добавляли 0,9 г порошка ПВС и перемешивали смеси в течение 2 часов. После этого каждый перемешанный раствор удаляли пузырьками в вакуумной камере и затем выливали в резервуар размером 5 × 5 см ² . стеклянную форму, и форму помещали в вытяжной шкаф, чтобы дать раствору высохнуть естественным путем. После высыхания растворов пленки ПВС были оторваны от стеклянных форм, и они показаны на рис. 5. Пленка чистого ПВС без каких-либо диспергированных наночастиц была изготовлена ​​аналогичным образом, за исключением того, что 9 мл воды вместо раствора нанооболочки было смешано с Порошок ПВА.

а Пленка диспергирована с помощью золотой нанооболочки размером 16 нм. б Пленка диспергирована с помощью золотой нанооболочки размером 29 нм. c Пленка диспергирована с помощью золотой нанооболочки размером 36 нм. г Чистая пленка ПВА

Сечение экстинкции σ _ext нанооболочки связана с прямым коэффициентом пропускания T тонкой пленки нанооболочек по закону Бера-Ламберта [44]:

где N - поверхностная плотность наночастиц, то есть количество нанооболочек на единицу площади (обратите внимание, что эта площадь перпендикулярна направлению распространения падающего света). Прямое пропускание T получается путем нормализации измеренного прямого пропускания пленки ПВС, диспергированной с нанооболочкой, к пропусканию чистой пленки ПВС без каких-либо диспергированных наночастиц. Итак, N ∙ σ _ext определяется следующим уравнением:

Обратите внимание, что вместо σ _ext , только N ∙ σ _ext выводится из экспериментальных измерений, потому что имеет значение общая форма спектра. На рис. 4 N ∙ σ _ext нормализуется таким образом, чтобы максимальное значение N ∙ σ _ext спектра равна 1.

Сечение поглощения σ _абс одиночной нанооболочки связано с потерей интенсивности параллельного пучка падающего света из-за поглощения ∆I _абс после прохождения через тонкую пленку наночастиц, в соответствии с законом Бера-Ламберта [44]:

где I ₀ - интенсивность падающего света.

Итак, следующий шаг - экспериментально найти ослабление падающего света только из-за поглощения наночастиц. Уравнение (8) предполагает, что частица является чисто поглощающей [44]. Для наночастиц, которые одновременно поглощают и рассеивают свет, уравнение. (8) неверно из-за многократного поглощения. Для ансамбля таких наночастиц, когда падающий свет сначала попадает на наночастицу, некоторые лучи света поглощаются, а некоторые рассеиваются. Но для этих рассеянных лучей света, когда они попадают в большее количество наночастиц на своем выходе из ансамбля наночастиц, часть из них снова поглощается, что приводит к многократному поглощению. Многократное поглощение рассеянного света предполагает, что при измерении общего количества света, который не поглощается пленкой ПВС, диспергированной с нанооболочками, N ∙ σ _абс полученный в соответствии с формулой. (8) имеет тенденцию переоценивать поглощение. Однако, поскольку пленка ПВС в наших экспериментах тонкая (около 0,3 мм), а концентрация нанооболочек невелика, предполагается, что большая часть света подвергается однократному рассеянию (и, следовательно, однократному поглощению) [25]. При таком предположении экспериментальная установка, в которой используется интегрирующая сфера для измерения общего количества света, который не поглощается пленкой ПВС, диспергированной с помощью нанооболочек, показана на рис. 6. На рис. 6 T ₁ , Т ₂ , или R пропорциональна количеству света, захваченного интегрирующей сферой, то есть количеству света, который не выходит из открытого порта с правой стороны. В следующем обсуждении предполагается, что T ₁ , Т ₂ , и R пропорциональны интенсивности света, собираемого интегрирующей сферой с тем же коэффициентом α .

Экспериментальная установка для измерения поглощения. Непосредственно измеренные значения: T ₁ ( λ ), Т ₂ ( λ ) и R ( λ ) где T _я ( я =1, 2) или R ( λ ) пропорционален количеству света, захваченного интегрирующей сферой. Поглощение рассчитывается по этим измеренным значениям. Эта установка является упрощенной версией той, о которой говорится в ссылке [22]

Уравнение (8) можно переформатировать в \ (\ left ({I} _0- \ Delta {I} _ {\ mathrm {abs}} \ right) ={I} _0 {e} ^ {- N \ bullet {\ sigma} _ {\ mathrm {abs}}} \), а его левая часть представляет собой общее количество света, которое не поглощается после того, как падающий свет проходит через образец пленки. Из измерений на рис. 6 мы можем записать следующие уравнения:

Подставляя уравнение. (9) и уравнение. (10) в \ (\ left ({I} _0- \ Delta {I} _ {\ mathrm {abs}} \ right) ={I} _0 {e} ^ {- N \ bullet {\ sigma} _ { \ mathrm {abs}}} \) и включение параметра шума в дополнение к N ∙ σ _абс , можно получить следующее уравнение:

где шум находится из матрицы ПВС. Из-за первого отражения падающего света на границе раздела воздух / ПВС около 4% падающего света никогда не попадает в тонкую пленку (согласно уравнениям Френеля, при нормальном падении на границу раздела двух различных сред с индексами n ₁ (=1 для воздуха) и n ₂ (=1,5 для ПВС) коэффициент отражения света R задается как \ (R ={\ left | \ frac {n_1- {n} _2} {n_1 + {n} _2} \ right |} ^ 2 \)) и, таким образом, уравнение. (11) изменен как