Анализ последовательно-параллельных R-C и R-L цепей с комплексным импедансом

Теперь, когда мы видели, что анализ последовательных и параллельных цепей переменного тока не принципиально отличается от анализа цепей постоянного тока, не должно удивлять, что анализ последовательно-параллельных цепей также аналогичен, просто с использованием комплексных чисел вместо скаляров для представления напряжения, тока и импеданса. Возьмём для примера такую последовательно-параллельную цепь:

Пример последовательно-параллельной цепи R, L и C.

Первая задача, как всегда, — определить значения импеданса (Z) для всех компонентов на основе частоты источника переменного тока. Для этого нужно сначала найти реактивности (X) для всех катушек и конденсаторов, затем преобразовать реактивности (X) и сопротивления (R) в надлежащую форму импеданса (Z):

Теперь можно установить начальные значения в нашей таблице:

Поскольку это последовательно-параллельная комбинированная цепь, её нужно свести к общему импедансу более чем в один шаг. Первый шаг — объединить L и C₂ как последовательную комбинацию импедансов, сложив их импедансы.

Затем этот импеданс будет объединён параллельно с импедансом резистора, давая другую комбинацию импедансов. Наконец, эта величина будет сложена с импедансом C₁ для получения общего импеданса.

Чтобы наша таблица отражала все эти шаги, необходимо добавить дополнительные столбцы для представления каждого этапа.

Горизонтальное добавление столбцов к показанной таблице было бы неудобно для форматирования, поэтому я размещу новую строку столбцов под ней, каждый столбец обозначен соответствующей комбинацией компонентов:

Расчёт этих новых (комбинированных) импедансов потребует комплексного сложения для последовательных комбинаций и «формулы обратных величин» для комплексных импедансов в параллели. На этот раз формулу обратных величин не избежать: нужные значения можно получить только так!

Поскольку наша вторая таблица содержит столбец «Total», мы можем безопасно убрать этот столбец из первой таблицы. Это даёт нам одну таблицу с четырьмя столбцами и другую с тремя столбцами.

Теперь, зная общий импеданс (818,34 Ом ∠ -58,371°) и полное напряжение (120 В ∠ 0°), применяем закон Ома (I=E/Z) вертикально в столбце «Total» для получения общего тока:

Теперь спрашиваем себя: есть ли компоненты или их комбинации, которые делят либо полное напряжение, либо полный ток? В данном случае и C₁, и параллельная комбинация R//(L–C₂) имеют общий (полный) ток, так как общий импеданс состоит из этих двух наборов импедансов последовательно.

Таким образом, переносим значение общего тока в оба столбца:

Теперь вычисляем падения напряжений на C₁ и последовательно-параллельной комбинации R//(L–C₂) по закону Ома (E=IZ) вертикально в этих столбцах таблицы:

Быстрая проверка: складываются ли падения напряжений на C₁ и комбинации R//(L–C₂) в полное напряжение? По закону Кирхгофа по напряжениям — должны!

Этот шаг — лишь предосторожность. В задаче с таким количеством шагов велик шанс ошибки. Периодические перекрёстные проверки вроде этой могут сэкономить много работы и избавить от фрустрации, выявляя проблемы до финального шага.

Решив падения напряжений на C₁ и комбинации R//(L–C₂), снова спрашиваем: какие ещё компоненты делят одно напряжение или ток?

В данном случае резистор (R) и комбинация катушки и второго конденсатора (L–C₂) имеют одинаковое напряжение, так как эти наборы импедансов параллельны друг другу. Поэтому переносим только что найденное значение напряжения в столбцы R и L–C₂:

Теперь готовы к расчёту тока через резистор и через последовательную комбинацию L–C₂. Нужно просто применить закон Ома (I=E/Z) вертикально в обоих столбцах:

Ещё одна проверка: складываются ли токи L–C₂ и R в общий ток? По закону Кирхгофа по токам — должны:

Так как L и C₂ соединены последовательно, и мы знаем ток через их комбинацию, распределяем это значение тока в столбцы L и C₂ по правилу последовательных цепей — последовательные компоненты имеют общий ток:

Последний шаг (на самом деле два расчёта) завершает нашу таблицу анализа. С известными импедансом и током для L и C₂, применяем закон Ома (E=IZ) вертикально в этих двух столбцах для расчёта падений напряжений:

Теперь обратимся к SPICE для компьютерной верификации нашей работы:

Пример последовательно-параллельной R, L, C схемы SPICE.

ac series-parallel r-l-c circuit
v1 1 0 ac 120 sin
vit 1 2 ac 0
vilc 3 4 ac 0
vir 3 6 ac 0
c1 2 3 4.7u
l 4 5 650m
c2 5 0 1.5u
r 6 0 470
.ac lin 1 60 60
.print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit)
.print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir)
.end

freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1
6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01
freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L
6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02
freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2
6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02
freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R
6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01

Каждая строка вывода SPICE даёт напряжение, фазу напряжения, ток и фазу тока для C₁, L, C₂ и R в этом порядке. Как видите, эти цифры согласуются с нашими ручными расчётами в таблице анализа цепи.

Как бы ни казался пугающим анализ последовательно-параллельных цепей переменного тока, важно подчеркнуть: здесь нет ничего принципиально нового, кроме использования комплексных чисел. Закон Ома (в новой форме E=IZ) всё ещё верен, как и законы напряжений и токов Кирхгофа.

Хотя при выполнении необходимых комплексных вычислений выше вероятность человеческой ошибки, базовые принципы и техники редукции последовательно-параллельных цепей остаются точно такими же.

ОБЗОР:

• Анализ последовательно-параллельных цепей переменного тока во многом аналогичен последовательно-параллельным цепям постоянного тока. Единственное существенное различие — все величины и расчёты в комплексной (а не скалярной) форме.
• Важно помнить: перед началом редукции последовательно-параллельных цепей (упрощения) необходимо определить импеданс (Z) каждого резистора, катушки и конденсатора. Тогда все значения компонентов будут выражены в общих терминах (Z) вместо несовмесимой смеси сопротивления (R), индуктивности (L) и ёмкости (C).

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

• Рабочий лист: Комбинированные последовательно-параллельные цепи переменного тока