Влияние сопротивления на резонанс в последовательно-параллельных LC-цепях

В идеальных LC-сетях с пренебрежимым сопротивлением резонансная частота определяется исключительно значениями катушки и конденсатора, давая либо бесконечный импеданс в параллельном (контурном) контуре, либо нулевой — в последовательном. Однако при введении значимого сопротивления простое резонансное условие перестаёт выполняться, и фактическое резонансное поведение смещается.

В приведённых ниже примерах мы сохраняем конденсатор 10 мкФ и катушку 100 мГн — те же значения, что и в предыдущих расчётах — добавляя различные резистивные элементы для наблюдения смещения точки резонанса.

Резонансная частота цепи с высоким сопротивлением

Учебная формула предсказывает резонанс 159,155 Гц. Следующие симуляции SPICE показывают частоту, на которой ток достигает экстремума при добавлении сопротивления.

Параллельная LC-цепь с резистором последовательно с катушкой.

resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
c1 1 0 10u
r1 1 2 100
l1 2 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Результат: минимум тока на 136,8 Гц, сдвиг вниз от расчётных 159,2 Гц.

Добавление небольшого последовательного резистора (Rbogus) на стороне конденсатора избегает проблем сходимости SPICE и иллюстрирует иной сдвиг:

resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 100
c1 2 0 10u
rbogus 1 3 1e-12
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 400
.plot ac i(v1)
.end

Результат: минимум тока теперь примерно на 180 Гц, сдвиг вверх.

Последовательные LC-цепи с параллельным сопротивлением

Теперь вставим значимый резистор параллельно либо катушке, либо конденсатору. Небольшой резистор 1 Ом (R1) также включён последовательно для ограничения общего тока на резонансе.

Последовательный LC с резистором 100 Ом параллельно катушке.

resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 1
c1 2 3 10u
l1 3 0 100m
r2 3 0 100
.ac lin 20 100 400
.plot ac i(v1)
.end

Результат: пик тока смещается примерно на 178,9 Гц, сдвиг вверх.

С резистором 100 Ом параллельно конденсатору:

Последовательный LC с резистором 100 Ом параллельно конденсатору.

resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 1
c1 2 3 10u
r2 2 3 100
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Результат: максимум тока теперь на 136,8 Гц, сдвиг вниз.

Понимание антирезонанса

Систематический сдвиг резонанса, вызванный добавленным сопротивлением, известен как антирезонанс. Наблюдаемая в четырёх примерах SPICE закономерность согласована:

• Параллельный LC (контур):
  • R в серии с L → частота вниз
  • R в серии с C → частота вверх
• Последовательный LC:
  • R параллельно с L → частота вверх
  • R параллельно с C → частота вниз

Из-за комплементарных ролей катушек и конденсаторов сопротивление в серии с одним элементом даёт тот же сдвиг, что и сопротивление параллельно с другим. Величина сдвига идентична, а графики импеданса — зеркальные образы.

Кожной эффект

Реальные катушки содержат значительное сопротивление из-за длинных обмоток. Это сопротивление растёт с частотой из-за кожного эффекта — ток переменного тока течёт у поверхности проводника, уменьшая эффективное поперечное сечение и повышая сопротивление.

Потери в сердечнике ферромагнитных катушек

Другой источник сопротивления — генерация вихревых токов в ферромагнитном сердечнике при изменении магнитного потока. Эти «потери в сердечнике» ведут себя как дополнительная резистивная нагрузка, которую можно смягчить ламинированными сердечниками и высококачественными магнитными материалами, но не устранить полностью.

RLC-цепи

Когда все три элемента — резистор, катушка и конденсатор — соединены последовательно, резонансная частота остаётся неизменной даже при большом последовательном сопротивлении. Результат SPICE подтверждает это:

Последовательный RLC: резонанс на 159,2 Гц; увеличенное сопротивление лишь расширяет пик.

series rlc circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 100
c1 2 3 10u
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Результат: максимум тока остаётся на 159,2 Гц, подтверждая сохранение резонанса.

Гасительный эффект антирезонанса

В безпотерьном контурном контуре энергия осциллирует бесконечно, как в маятнике без трения. Реальные цепи страдают от потерь энергии в сопротивлении, потерях в сердечнике или излучении, вызывая затухание осцилляций. Антирезонанс можно намеренно вводить для гашения нежелательных осцилляций, например, добавляя резистор параллельно со смежной ёмкостью.

Рассмотрим L/R цепь задержки времени:

Когда ключ замыкается, катушка заряжается с постоянной времени L/R. На практике смежная ёмкость между обмотками катушки и окружающей обвязкой может вызывать дребезг. Добавление достаточного сопротивления создаёт антирезонанс, рассеивающий энергию и предотвращающий длительные осцилляции.

Тот же принцип работает в механических системах — амортизаторы в автомобилях рассеивают кинетическую энергию для подавления резонансных вибраций.

Обзор

• Добавленное сопротивление может смещать резонанс — это явление называется антирезонансом.
• Сопротивление катушки растёт с частотой из-за кожного эффекта, а ферромагнитные катушки также имеют потери в сердечнике.
• В истинной последовательной RLC-цепи резонанс сохраняется на частоте, предсказанной L и C; сопротивление влияет только на полосу пропускания.

Связанные рабочие листы

• Рабочий лист: Резонанс