Q-фактор и полоса пропускания в резонансных цепях: теория, расчёты и практика

Q-фактор (коэффициент качества) резонансной цепи количественно оценивает её селективность и энергетическую эффективность. Чем выше Q, тем уже полоса пропускания — критично для фильтрации, настройки и РЧ-проектирования.

Математически Q — отношение мощности, накопленной в реактивных элементах, к мощности, рассеиваемой в резистивном компоненте:

Q = Pнакопл/Pрасс = I²X/I²R = X/R
где: X = ёмкостная или индуктивная реактивность на резонансе
R = последовательное сопротивление

Это выражение справедливо для последовательных резонаторов и для параллельных резонаторов, когда доминирует последовательное сопротивление катушки. На практике активное сопротивление катушки постоянного тока ограничивает достижимый Q.

Примечание: Некоторые тексты приводят формулу с поменянными X и R для параллельного резонатора с большим параллельным сопротивлением. Наша формула верна для распространённого случая малого последовательного сопротивления в катушке.

В последовательном резонаторе напряжение на катушке или конденсаторе может достигать Q-кратного приложенного напряжения. В параллельном резонаторе ток через реактивные элементы может достигать Q-кратного общего тока.

Последовательные резонансные цепи

На резонансе последовательный резонатор ведёт себя как чистый резистор: индуктивная и ёмкостная реактивности взаимно компенсируются, оставляя только последовательное сопротивление для определения импеданса. Это даёт минимальный импеданс и максимальный ток.

Ниже резонанса цепь выглядит ёмкостно, потому что реактивность конденсатора доминирует. Выше резонанса — индуктивно, так как растёт реактивность катушки.

На резонансе последовательный резонатор чисто резистивен. Ниже резонанса — ёмкостен, выше — индуктивен.

Импеданс минимален на резонансе в последовательном резонаторе.

Пиковый ток можно настраивать изменением последовательного сопротивления, что меняет Q и ширину резонансной кривой. Цепь с низким сопротивлением и высоким Q даёт острый, узкий пик; с высоким сопротивлением и низким Q — широкий, пологий отклик.

Полоса пропускания напрямую связана с Q и резонансной частотой:

BW = fc / Q

Высоко-Q резонансная цепь имеет узкую полосу пропускания по сравнению с низко-Q.

Полоса пропускания определяется как диапазон частот между точками амплитуды 0,707 (≈70,7%), соответствующими точкам половинной мощности, так как P = I²R.

Полоса пропускания, Δf, измеряется между точками амплитуды 70,7% последовательного резонатора.

BW = Δf = fh - fl = fc / Q
где: fh = верхняя граница полосы
fl = нижняя граница полосы
fc = центральная (резонансная) частота

В примере выше точка 100% тока — 50 мА. Уровень 70,7% — 35,4 мА. Границы полосы: 291 Гц (f_l) и 355 Гц (f_h). Полоса пропускания 64 Гц, точки половинной мощности ±32 Гц вокруг центральной частоты:

BW = Δf = 355 Гц - 291 Гц = 64 Гц
fl = fc - Δf/2 = 323 Гц - 32 Гц = 291 Гц
fh = fc + Δf/2 = 323 Гц + 32 Гц = 355 Гц
Q = fc / BW = 323 Гц / 64 Гц ≈ 5

Параллельные резонансные цепи

Параллельный резонатор достигает максимального импеданса на резонансе. Ниже резонанса он ведёт себя индуктивно, потому что меньший импеданс катушки тянет больше тока. Выше резонанса — ёмкостно, так как доминирует меньший импеданс конденсатора.

Параллельный резонатор: резистивен на резонансе, индуктивен ниже, ёмкостен выше.

Поскольку напряжение равно импедансу на ток (V = I·Z), напряжение достигает пика на резонансе, где импеданс максимален.

Параллельный резонанс: импеданс пикует на резонансе.

На практике низкий Q — вызванный высоким последовательным сопротивлением катушки — даёт скромный, широкий пик. Высокий Q — достигнут с низкорезистивным толстым проводом — даёт выраженный, узкий пик. Изменение калибра и обмотки катушки напрямую влияет на Q.

Отклик параллельного резонатора варьируется с Q.

Полоса пропускания параллельного резонатора измеряется между точками половинной мощности по напряжению (точки импеданса 70,7%). Поскольку мощность ∝ V², эти точки соответствуют уровню 50% мощности.

Полоса пропускания, Δf, измеряется между точками импеданса 70,7% параллельного резонатора.

В примере точка 100% импеданса — 500 Ом. Уровень 70,7% — 354 Ом. Границы: 281 Гц (f_l) и 343 Гц (f_h). Полоса пропускания 62 Гц, точки половинной мощности ±31 Гц вокруг центральной частоты:

BW = Δf = 343 Гц - 281 Гц = 62 Гц
fl = fc - Δf/2 = 312 Гц - 31 Гц = 281 Гц
fh = fc + Δf/2 = 312 Гц + 31 Гц = 343 Гц
Q = fc / BW = 312 Гц / 62 Гц ≈ 5

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист: Резонанс
• Рабочий лист: Алгебраическая подстановка для электрических цепей