Мастерство 4-переменных карт Карно: проектирование, редукция и практические примеры

Как только вы понимаете последовательность кода Грея, расширение 3-переменной карты Карно до 4 переменных становится прямолинейным: скопируйте последовательность столбцов 3-переменной карты на левую сторону 4-переменной сетки. См. иллюстрацию ниже.

 

Редукции 4-переменных K-карт

Следующие примеры демонстрируют, как карты Карно упрощают булевы выражения, которые было бы утомительно обрабатывать алгеброй. Алгебраическая манипуляция возможна, но K-карты дают более быстрый визуальный подход — особенно когда требуется много редукций.

 

 

Нижеприведенное булево выражение содержит семь слагаемых-произведений. Они наносятся на K-карту последовательно: первый терм A'B'CD занимает верхний ряд, третью ячейку (A=0, B=0, C=1, D=1). Каждый последующий терм следует тому же слева-направо, сверху-вниз отображению. Обводя наибольшие возможные группы, находим две группы по четыре. Горизонтальная группа дает упрощенный терм AB, вертикальная — CD. Полученное СП-выражение: Out = AB + CD.

Сложите углы карты, как салфетку; это приводит четыре угловые ячейки в физическое смежность.

 

 

Эти четыре ячейки делят переменные B' и D' (обе равны 0), пока A и C варьируются. Следовательно, группа сокращается к единственному слагаемому-произведению Out = B'D'.

Для следующего примера представьте, что верхний и нижний края скручены в цилиндр, создавая восемь смежных ячеек.

 

 

Здесь группа из восьми делит общую переменную B=0, давая упрощенный терм Out = B' из исходного восьмитермового выражения.

Слагаемые-произведения в 4-переменных K-картах

Рассмотрим выражение с девятью слагаемыми-произведениями, три из которых включают только три булевы переменные. В K-карте четырехпеременные термы занимают одиночные ячейки, а трехпеременные — пары ячеек. Отображение показано ниже.

 

 

Формируя две перекрывающиеся группы по восемь — где угловые ячейки общие — достигаем наиболее эффективного упрощения: Out = B' + D.

Ниже иллюстрируется неупрощенное выражение на K-карте.

 

 

Три ячейки объединяются в пары, оставляя одну изолированную ячейку, которую нельзя слиять. Изолированный терм ABCD остается неизменным, результат: Out = B'C'D' + A'B'D' + ABCD.

Часто существует несколько минимально-стоимостных решений. Следующий пример иллюстрирует два эквивалентных решения, каждое с четырьмя слагаемыми-произведениями из трех переменных.

 

 

Оба решения удовлетворяют критерию минимальной стоимости — наименьшее число гейтов и входов — несмотря на разные группировки.

При упрощении начните с выявления группы из четырех. Последующие группы выбирайте для покрытия оставшихся ячеек, обеспечивая размер группы как степень двойки (1, 2, 4, 8…). Избегайте групп из трех.

Другой пример показывает два валидных минимально-стоимостных решения. После образования двух начальных групп по четыре, оставшаяся одиночная ячейка может быть спарирована с любой группой, давая либо ABC', либо ABD как финальный терм.

 

 

В обоих случаях финальные выражения эквивалентны по сложности.

Наконец, сравним подход карты Карно с булевой алгеброй. Отображение C' покрывает левую половину карты (восемь ячеек). Оставшаяся одиночная ячейка ABCD образует пару с соседом, сокращаясь к ABD. Общий результат: Out = C' + ABD, иллюстрируя редкий случай, когда алгебраическое упрощение прямолинейно.

 

 

Эти примеры подчеркивают силу карт Карно для быстрой, надежной минимизации логики.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист по картам Карно