Понимание ячеек «неважно» в картах Карно

До сих пор мы решали задачи редукции логики, где каждая входная комбинация полностью определена. 3-переменная таблица истинности, например, содержит 2^3 = 8 записей, а соответствующая карта Карно полностью заполнена.

Во многих реальных приложениях, однако, нам не нужно определять все возможные входы. Некоторые комбинации никогда не происходят, и выход для этих «невозможных» состояний неважен. Это называют условиями «неважно».

Например, при работе с двоично-десятичными кодами (BCD), закодированными в четыре бита, валидные коды — 0000–1001 (десятичные 0–9). Шесть двоичных паттернов 1010–1111 соответствуют шестнадцатеричным цифрам A–F и никогда не используются. Следовательно, мы можем пометить эти шесть паттернов как «неважно» и оставить их пустыми в таблице истинности или карте Карно.

Ячейки «неважно»

В карте Карно ячейки «неважно» обозначаются звездочкой (*) и могут трактоваться как 0 или 1 при группировке, или просто игнорироваться. Их использование может позволить более крупные группировки, что часто ведет к более простому булеву выражению.

Включайте ячейку «неважно» в группу только если это снижает общую сложность логики. Нет обязательства использовать каждую такую ячейку.

Рассмотрим функцию, которая должна выдавать 1 для входа ABC = 101, тогда как все остальные входы между 000 и 101 неважно. Две комбинации 110 и 111 помечены как «неважно». Можно вывести три разных упрощенных выражения:

• Без использования «неважно»: Out = AB'C.
• Включая «неважно» для пары: Out = AC.
• Используя «неважно» для четырехячеечной группы нулей: тоже Out = AC.

Эти примеры иллюстрируют, что ячейки «неважно» можно трактовать как 1 или 0, в зависимости от того, какой выбор дает простейшее выражение.

Теперь перейдем к практическому применению: проектированию логики ламп для экспоната стационарного велосипеда в местном научном музее.

Чем быстрее крутит педали велосипедист, тем выше напряжение, вырабатываемое малым DC-генератором. Это напряжение поступает на тахометрическую плату, которая ограничивает сигнал так, что нижестоящий АЦП никогда не выдает два старших 3-битных кода (110 и 111). Преобразователь поэтому выдает один из кодов: 000 (нет движения), 001, 010, 011, 100, 101.

Пять ламп (L1–L5) формируют бар-график. Схема зажигания:

• 000 — ни одна лампа не горит.
• 001 — горит L1.
• 010 — горят L1 и L2.
• 011 — горят L1, L2, L3.
• 100 — горят L1, L2, L3, L4.
• 101 — горят все пять ламп.

Так как коды 110 и 111 никогда не возникают, трактуем их как «неважно». Следующие карты Карно построены для каждой лампы: 0 для состояния 000, 1 для соответствующих загоревшихся состояний, * для 110 и 111.

Например, лампа L5 загорается только для ABC = 101. Её карта содержит одиночную 1 в этой ячейке и нули в остальных. L4 — для 100 и 101, две единицы. L3 — для 011, 100, 101; L2 — для 010, 011, 100, 101; L1 — для всех кодов кроме 000.

Группируя единицы и используя «неважно» там, где это полезно, булево выражение каждой лампы радикально упрощается. В частности, выражение L4 сокращается просто к A (старший бит), устраняя необходимость в любом логическом гейте. Остальные лампы также выигрывают в простоте.

Полученная схема гейтов (показана выше) соединяет пять минимизированных выражений с открытыми коллекторами инверторов (серия 74 7406), управляющими LED. Выход L1 использует 2-входовый гейт ИЛИ, комбинируя (A + B) с C, давая логическую сумму A + B + C.

Выходы с открытым коллектором идеальны для драйверов LED, так как позволяют току течь через внешнюю нагрузку. Активный высокий уровень на любом инверторе притягивает его выход к низкому, пропуская ток через LED и его ограничивающий резистор. Хотя LED в этом экспонате могут быть частью твердотельного реле, управляющего 120 В лампами, эта схемотехника выходит за рамки данного логического дизайна.

Связанные рабочие листы

• Рабочий лист по схемам цифровых дисплеев
• Рабочий лист по картам Карно