Преобразование диаграммы Венна в карту Карно: пошаговое руководство

Начиная с круга A в прямоугольной A’ вселенной на рисунке (a) ниже, мы преобразуем диаграмму Венна почти в карту Карно.

 

 

Расширяем круг A в (b) и (c), подгоняем под прямоугольную A’ вселенную в (d), и меняем A на прямоугольник в (e). Все, что осталось вне A, — это A’ . Назначаем прямоугольник для A’ в (f). Также в картах Карно не используют штриховку. То, что у нас есть, похоже на 1-переменную карту Карно, но малополезно. Нам нужно несколько переменных.

 

 

Рисунок (a) выше — то же, что предыдущая диаграмма Венна с A и A’, за исключением того, что подписи A и A’ находятся над диаграммой, а не внутри областей. Представьте, что мы прошли процесс, аналогичный (a-f), чтобы получить «квадратную диаграмму Венна» для B и B’, как показано в среднем рисунке (b).

Теперь наложим диаграммы с рисунков (a) и (b), чтобы получить результат в (c), как мы делали для диаграмм Венна. Причина — наблюдать, что может быть общим для двух перекрывающихся областей — скажем, где A перекрывает B. Правый нижний квадратик на рисунке (c) соответствует AB, где A перекрывает B.

 

 

Мы не тратим время на рисование карты Карно как (c) выше, а чертим упрощенную версию слева. Столбец из двух ячеек под A’ понимается как ассоциированный с A’, а заголовок A — со столбцом под ним. Ряд, заголовок B’, ассоциирован с ячейками справа от него.

Аналогично B ассоциирован с ячейками справа от него. Для простоты мы не разграничиваем области так четко, как на диаграммах Венна.

Карта Карно справа — альтернативная форма, используемая в большинстве учебников. Имена переменных перечислены рядом с диагональной линией.

A над диагональю указывает, что переменная A (и A’) назначена столбцам. 0 заменяет A’, 1 — A. B под диагональю ассоциирован со строками: 0 для B’, 1 для B.

Пример:

Отметьте ячейку, соответствующую булевому выражению AB, в карте Карно единицей.

 

 

Решение:

Закрасьте или окружите область, соответствующую A. Затем закрасьте или окружите область для B. Перекрытие двух областей — AB. Поставьте 1 в эту ячейку. Не обязательно замыкать области A и B, как слева вверху.

 

 

3-переменная K-карта

Развиваем 3-переменную карту Карно, начиная с областей типа диаграммы Венна. Всевленная (внутри черного прямоугольника) разбита на два узких прямоугольных региона для A’ и A. Переменные B’ и B делят вселенную на два квадратных региона. C занимает квадратный регион в центре прямоугольника, а C’ разделена на два вертикальных прямоугольника по обе стороны от квадрата C.

На финальном рисунке накладываем все три переменные, стараясь четко пометить различные регионы. Регионы менее очевидны без цветной печати, но понятнее при сравнении с другими тремя фигурами.

Эта 3-переменная K-карта (карта Карно) имеет 2³ = 8 ячеек — маленькие квадраты внутри карты. Каждая ячейка уникально идентифицируется тремя булевыми переменными (A, B, C). Например, ABC’ уникально выбирает правую нижнюю ячейку(*), A’B’C’ — левую верхнюю (x).

 

 

Обычно не маркируют карту Карно как слева вверху. Хотя эта фигура четко показывает покрытие карты отдельными булевыми переменными 4-ячеечными регионами.

Карты Карно маркируют как иллюстрация справа. Каждая ячейка по-прежнему уникально идентифицируется 3-переменным произведением, булевым выражением И. Возьмем, например, ABC’, идя по строке A вправо и по столбцу BC’ вниз, оба пересекаются в правой нижней ячейке ABC’. См. (*) на рисунке выше.

 

 

Приведенные две формы 3-переменной карты Карно эквивалентны и являются окончательной формой. Версия справа немного удобнее, так как не нужно писать много алфавитных заголовков и черт инверсии, достаточно 1 и 0. Используйте форму справа, а слева ищите в некоторых текстах. Заголовки столбцов слева B’C’, B’C, BC, BC’ эквивалентны 00, 01, 11, 10 справа. Заголовки строк A, A’ эквивалентны 0, 1 на правой карте.