Понимание булевых отношений с помощью диаграмм Венна

Четвертая иллюстрация показывает множество A частично перекрывающее множество B. Сначала рассматриваем полную штрихованную область, представляющую объединение обоих множеств, а позже изолируем пересечение.

Слева внизу, красная горизонтальная штриховка обозначает A; синяя вертикальная — B.

Когда объединяем все штрихованные области — независимо от стиля штриховки — полученная область соответствует включению ИЛИ для A и B. Булево выражение: A + B.

На диаграмме 45° штрихованная полоса представляет объединение. Все вне этой штрихованной области — дополнение, (A + B)'.

Далее рассматриваем пересечение A и B. Двойная штрихованная зона слева представляет исключительную функцию И, выраженную как AB. Область вне двойной штриховки — (AB)'.

Заметим, что некоторые элементы A принадлежат (AB)', и так же для B. Однако ни один элемент (AB)' не лежит внутри двойной штрихованной области AB.

Второй пример повторен слева. Пятый пример, набросанный ранее, справа для сравнения. В следующих разделах мы идентифицируем элементы, полностью содержащиеся в другом множестве, используя карты Карно.

Теперь введем булево выражение с инвертированной переменной.

Пример: Визуализируйте выражение A'B (НЕ А И Б) с диаграммой Венна.

Решение: Начиная слева вверх, заштрихуйте A' красной горизонтальной штриховкой. Справа вверх — B синей вертикальной. Перекрывающаяся область слева внизу представляет A'B. Большинство студентов рисуют всю двойную штрихованную область справа для наглядности. Дополнение (A'B)' — незаштрихованная область вне этого региона.

Теперь разберем операцию ИЛИ с инвертированной переменной.

Пример: Определите область для B' + A.

Решение: Справа начните с B, заштрихуйте, затем инвертируйте в B'. Наложите A сверху. Объединение всех штрихованных областей, независимо от стиля, дает A + B'. Это показано как одна штрихованная область слева для ясности.

Пример: Найдите дополнение (A + B')'.

Решение: Белая чистая область на левой диаграмме соответствует (A + B')'. Зеленая 45° штрихованная полоса ранее иллюстрировала объединение A + B'. Сравнивая дополнение с двойной штрихованной областью AB' справа, видим, что формы идентичны, подтверждая теорему Де Моргана и двойную инверсию.

Диаграммы Венна дают интуитивную визуальную проверку, но не являются формальными доказательствами; для строгой верификации нужна булева алгебра. Тем не менее, они бесценны для иллюстрации концепций вроде теоремы Де Моргана.

Пример: Изобразите выражение A' + B' на диаграмме Венна.

Решение: Заштрихуйте A' красной горизонтальной, B' синей вертикальной штриховкой. Полученная фигура показывает все области, содержащие хотя бы одну штриховку, соответствующие A' + B'. Единственная незаштрихованная область — центральное перекрытие исходных кругов.

Пример: Визуализируйте (A' + B')'.

Решение: Центральное белое пространство представляет дополнение предыдущей диаграммы. Это именно область (A' + B')'.

Пример: Проверьте, что (A' + B')' = AB.

Решение: Нижняя левая диаграмма показывает открытую область для (A' + B')'. Левая и средняя диаграммы изображают двойную штрихованную зону пересечения AB. Они совпадают идеально, подтверждая тождество через теорему Де Моргана и двойную инверсию.

Наконец, представлена трехпеременная диаграмма Венна с A (красная), B (синяя), C (зеленая 45°). Центральная область, где все три перекрываются, представляет ABC. Крупные лепестообразные зоны иллюстрируют попарные пересечения: AB, AC, BC. Чем больше переменных в слагаемом И, тем меньше соответствующая область: A одна — большой круг; AB — меньший лепесток; ABC — наименьший.

• A (1 переменная): большая круговая область.
• AB (2 переменные): меньшая лепестообразная область.
• ABC (3 переменные): наименьшая область.
• Больше переменных → меньше область И.