Ключевые тождества булевой алгебры: исчерпывающий обзор

В математике тождество — утверждение, истинное для всех возможных значений его переменной или переменных.

Алгебраическое тождество x + 0 = x говорит, что что угодно (x) плюс ноль равно исходному «чему угодно», какой бы значение ни имело это «что угодно» (x).

Как и обычная алгебра, булева алгебра имеет свои уникальные тождества, основанные на бивалентных состояниях булевых переменных.

 

Аддитивные тождества

Сложение с нулём

Первое булево тождество: сумма чего угодно и нуля равна исходному «чему угодно».

Это тождество ничем не отличается от его вещественно-числового аналога:

 

 

Какое бы значение ни имело A, выход всегда будет тем же: когда A=1, выход тоже 1; когда A=0, выход тоже 0.

 

Сложение с единицей

Следующее тождество определенно отличается от любых в обычной алгебре.

Здесь открываем, что сумма «чего угодно» и единицы есть единица:

 

 

Какое бы значение ни имело A, сумма A и 1 всегда будет 1.

В каком-то смысле сигнал «1» перекрывает эффект A на логической схеме, фиксируя выход на логическом уровне 1.

 

Сложение величины с самой собой

Далее исследуем эффект сложения A и A вместе, что то же, что подключение обоих входов OR элемента к одному и тому же сигналу:

 

 

В вещественной алгебре сумма двух одинаковых переменных — удвоенное значение оригинала (x + x = 2x), но помним, что в булевой математике нет понятия «2», только 1 и 0, поэтому нельзя сказать A + A = 2A.

Таким образом, когда складываем булеву величину саму с собой, сумма равна исходной величине: 0 + 0 = 0, и 1 + 1 = 1.

 

Сложение величины с её дополнением

Вводя уникально булеву концепцию дополнения в аддитивное тождество, находим интересный эффект.

Поскольку между любой переменной и её дополнением должно быть одно значение «1», а сумма любой булевой величины и 1 есть 1, сумма переменной и её дополнения должна быть 1:

 

 

Мультипликативные тождества

Как есть четыре булевы аддитивных тождества (A+0, A+1, A+A, A+A'), так есть четыре мультипликативных: A×0, A×1, A×A, A×A'. Из них первые два ничем не отличаются от их эквивалентов в обычной алгебре:

 

Умножение на 0 или 1

 

 

Умножение величины на саму себя

Третье мультипликативное тождество выражает результат умножения булевой величины на саму себя.

В обычной алгебре произведение переменной на себя — квадрат этой переменной (3 x 3 = 3² = 9).

Однако понятие квадрат подразумевает величину 2, не имеющую смысла в булевой алгебре, поэтому нельзя сказать A × A = A².

Вместо этого находим, что произведение булевой величины на себя — исходная величина, так как 0 × 0 = 0 и 1 × 1 = 1:

 

 

Умножение величины на её дополнение

Четвёртое мультипликативное тождество не имеет аналога в обычной алгебре, потому что использует дополнение переменной — концепцию, уникальную для булевой математики.

Поскольку между любой переменной и её дополнением должно быть одно значение «0», а произведение любой булевой величины и 0 есть 0, произведение переменной и её дополнения должно быть 0:

 

 

Подводя итог, у нас четыре базовых булевых тождества для сложения и четыре для умножения:

 

 

Двойное дополнение

Другое тождество, касающееся дополнения — двойное дополнение: переменная, инвертированная дважды.

Двойная инверсия переменной (или любое чётное число инверсий) даёт исходное булево значение.

Это аналогично отрицанию (умножению на -1) в вещественной алгебре: чётное число отрицаний сокращается, оставляя исходное значение:

 

 

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист по булевой алгебре