Булева арифметика: сложение, умножение и дополнение в цифровой логике

Начнём изучение булевой алгебры со сложения чисел:

 

 

Первые три суммы понятны каждому, знающему элементарное сложение. Последняя сумма часто сбивает с толку в цифровой электронике, потому что кажется противоречащей обычным правилам арифметики.

Она противоречит правилам сложения вещественных чисел, но не для булевых значений. В булевой алгебре каждая величина может быть только 0 или 1; «2» не существует. Таким образом, вычисляя 1 + 1, результат не может быть 0, значит, он должен быть 1.

Будь то два слагаемых или много, закономерность та же:

 

 

Элемент ИЛИ (OR Gate)

Заметьте, что двухслагаемые суммы в первом наборе уравнений совпадают с таблицей истинности элемента ИЛИ. Булево сложение поэтому соответствует логической операции ИЛИ, также изображаемой параллельными коммутаторными контактами:

 

 

В булевой математике нет вычитания, потому что вычитание требует отрицательных чисел, которых здесь нет. Деление также исключено, как оно есть составное вычитание.

 

Элемент И (AND Gate)

Булево умножение следует тем же правилам, что умножение вещественных чисел: любая величина, умноженная на 0, даёт 0, и любая, умноженная на 1, остаётся неизменной:

 

 

Этот набор уравнений зеркалит таблицу истинности элемента И. Поэтому булево умножение напрямую отображается на логическую операцию И, также иллюстрируемую последовательными коммутаторными контактами:

 

 

Как и обычная алгебра, булева использует буквы для переменных, но всегда заглавные. Поскольку булева переменная может быть только 0 или 1, у неё есть дополнение — противоположное значение. Например, если A = 0, дополнение A = 1.

Дополнение обозначается чертой над переменной, как показано ниже:

 

Элемент НЕ (NOT Gate)

В нотации дополнение A пишут как Aʹ или A̅. Символ черты чаще, чем prime, который также используется в исчислении.

Дополнение в схемах представлено элементом НЕ или нормально замкнутым релейным контактом:

 

 

Эти определения устанавливают базовые правила булевой арифметики: сложение ⇔ ИЛИ, умножение ⇔ И, дополнение ⇔ НЕ. Вычитание и деление не определены.

Теперь исследуем булевы тождества в следующем разделе.

 

ОБЗОР:

• Булево сложение ⇔ логика ИЛИ, параллельные коммутаторные контакты.
• Булево умножение ⇔ логика И, последовательные коммутаторные контакты.
• Булево дополнение ⇔ логика НЕ, нормально замкнутые релейные контакты.

 

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист по булевой алгебре