Освоение арифметики комплексных чисел: основные операции и техники

Поскольку комплексные числа являются полноценными математическими объектами, как и скалярные числа, их можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, инвертировать и выполнять другие операции — точно так же, как с любыми другими числами.

Сложение и вычитание в прямоугольной форме

Сложение и вычитание комплексных чисел в прямоугольной форме выполняются элементарно. Для сложения достаточно отдельно сложить вещественные части и мнимые части слагаемых:

При вычитании вещественная и мнимая части вычитаемого вычитаются из соответствующих частей уменьшаемого:

Умножение и деление в полярной форме

Для ручных вычислений умножения и деления полярная форма удобнее. При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются:

При делении модуль делимого делится на модуль делителя, а аргумент делителя вычитается из аргумента делимого:

Инверсия (обратное число)

Чтобы найти обратное число (1/x) для комплексного числа, достаточно разделить единицу (как комплексное число с нулевой мнимой частью, угол 0°) на это число в полярной форме:

Практическая рекомендация

Настоятельно рекомендуется пользоваться инженерным калькулятором, поддерживающим арифметику комплексных чисел. Это значительно упростит изучение теории цепей переменного тока по сравнению с ручными вычислениями.

Дополнительные операции

Операции с комплексными числами не ограничиваются базовыми арифметическими действиями. Можно выполнять возведение в степень, извлечение корней, решать системы уравнений с комплексными коэффициентами, а даже вычислять тригонометрические функции (хотя это ведёт к гиперболическим функциям, выходящим за рамки данного обсуждения).

Краткий обзор

• Сложение в прямоугольной форме: складывайте вещественные и мнимые части отдельно. Вычитание аналогично.
• Умножение в полярной форме: перемножайте модули и складывайте углы. Деление: делите модули и вычитайте углы.

Связанные материалы

• Рабочий лист: Фазовый анализ переменного тока