Декодирование чисел и символов в электронике

Выражение числовых величин — это то, что мы склонны принимать как данность. Это и хорошо, и плохо в изучении электроники.

Это хорошо, в том смысле, что мы привыкли к использованию и манипуляции числами для множества расчётов, используемых в анализе электронных схем.

С другой стороны, конкретная система обозначения, которой нас учили со школьной скамьи, не является системой, используемой внутренне в современных электронных вычислительных устройствах, и изучение любой другой системы обозначения требует пересмотра глубоко укоренившихся предположений.

Числа

Во-первых, мы должны отличить разницу между числами и символами, которые мы используем для представления чисел. Число — это математическая величина, обычно коррелирующая в электронике с физической величиной, такой как напряжение, ток или сопротивление. Существует много разных типов чисел. Вот лишь несколько типов, например:

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (натуральные):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . . .

 

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (целые):
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 . . .

 

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА:
π (прибл. 3.1415927),
e (прибл. 2.718281828),
квадратный корень из любого простого числа

 

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА:
(Все одномерные числовые значения, отрицательные и положительные,
включая ноль, целые, целые и иррациональные числа)

 

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА:
3 - j4 , 34.5 ∠ 20^o

Разные типы чисел находят разное применение в физическом мире. Целые числа хорошо работают для подсчёта дискретных объектов, таких как количество резисторов в схеме. Целые числа нужны, когда требуются отрицательные эквиваленты целых чисел.

Иррациональные числа — числа, которые нельзя точно выразить как отношение двух целых чисел, и отношение длины окружности к её диаметру (π) — хороший физический пример этого. Нецелочисленные величины напряжения, тока и сопротивления, с которыми мы привыкли иметь дело в цепях постоянного тока, могут быть выражены как вещественные числа, либо в дробной, либо в десятичной форме.

Для анализа цепей переменного тока, однако, вещественные числа не улавливавают двойственную сущность величины и фазового угла, и поэтому мы обращаемся к использованию комплексных чисел в прямоугольной или полярной форме.

Символы

Если мы хотим использовать числа для понимания процессов в физическом мире, делать научные предсказания или балансировать наши чековые книжки, мы должны иметь способ символически обозначать их.

Другими словами, мы можем знать, сколько денег у нас на чековом счёте, но чтобы вести учёт, нам нужно иметь некоторую систему, разработанную для символизования этой величины на бумаге, или в каком-то другом виде для записи и отслеживания. 

Аналоговые и цифровые

Существует два основных способа сделать это: аналоговый и цифровой. С аналоговым представлением величина символизируется способом, который бесконечно делим. С цифровым представлением величина символизируется способом, который дискретно упакован.

Аналоговое представление

Вы, вероятно, уже знакомы с аналоговым представлением денег и не осознавали это. Видели ли вы плакат для сбора средств с изображением термометра, где высота красной колонки указывала на сумму собранных денег? Чем больше денег собрано, тем выше колонка красной краски на плакате.

 

 

Это пример аналогового представления числа. Нет реального предела, насколько тонко высота той колонки может быть разделена для символизации суммы денег на счёте. Изменение высоты той колонки — это то, что можно сделать без изменения существенной природы того, что оно есть.

Длина — физическая величина, которую можно делить так мало, как вы хотите, без практического предела. Счётная линейка — механическое устройство, использующее ту же физическую величину — длину — для представления чисел и помощи в выполнении арифметических операций с двумя или более числами одновременно. Она тоже является аналоговым устройством.

Цифровое представление

С другой стороны, цифровое представление той же денежной суммы, записанное стандартными символами (иногда называемыми цифрами), выглядит так:

$35,955.38

В отличие от плаката «термометра» с его красной колонкой, те символьные символы выше не могут быть тонко разделены: та конкретная комбинация цифр стоит за одной величиной и только за одной величиной.

Если больше денег добавляется на счёт (+ $40.12), должны быть использованы другие символы для представления нового баланса ($35,995.50), или по крайней мере те же символы, расположенные в других паттернах. Это пример цифрового представления.

Противоядие к счётной линейке (аналоговой) — тоже цифровое устройство: счёты, с бусинками, движущимися взад и вперёд на стержнях для символизации числовых величин:

 

Контраст между аналоговым и цифровым представлением

Давайте сравним эти два метода числового представления:

АНАЛОГ                              ЦИФРОВОЙ
------------------------------------------------------------------
Интуитивно понятно  ----------- Требует обучения для интерпретации
Бесконечно делимо -------------- Дискретно
Склонно к ошибкам точности ------ Абсолютная точность

 

Интерпретация числовых символов — это то, что мы склонны принимать как данность, потому что это было нас학ено нам многие годы. Однако, если бы вы попытались передать количество чего-либо человеку, незнающему десятичных цифр, этот человек всё равно мог бы понять простую термометрическую диаграмму!

Бесконечно делимое vs дискретное и сравнения точности — это действительно две стороны одной медали. Тот факт, что цифровое представление состоит из отдельных, дискретных символов (десятичных цифр и бусинок счётов) необходимым образом означает, что оно будет способно символизировать величины в точных шагах.

С другой стороны, аналоговое представление (такое как длина счётной линейки) не состоит из отдельных шагов, а представляет собой непрерывный диапазон движения. Способность счётной линейки характеризовать числовую величину до бесконечного разрешения — это компромисс за неточность.

Если счётную линейку ударят, ошибка будет введена в представление числа, которое было «введено» в неё. Однако счёты должны быть ударены намного сильнее, прежде чем их бусины будут полностью смещены с их мест (достаточно для представления другого числа).

Пожалуйста, не недопонимайте эту разницу в точности, думая, что цифровое представление необходимым образом более точно, чем аналоговое. Просто потому, что часы цифровые, не значит, что они всегда будут показывать время более точно, чем аналоговые часы, это просто значит, что интерпретация их дисплея менее двусмысленна.

Делимость аналогового versus цифрового представления может быть дополнительно прояснена говоря о представлении иррациональных чисел. Числа такие как π называются иррациональными, потому что они не могут быть точно выражены как дробь целых чисел.

Хотя вы могли учить в прошлом, что дробь 22/7 может использоваться для π в расчётах, это просто приближение. Фактическое число «пи» не может быть точно выражено никаким конечным, или ограниченным, количеством десятичных знаков. Цифры π идут вечно:

3.1415926535897932384 . . . . .

Теоретически возможно установить счётную линейку (или даже термометрическую колонку) так, чтобы идеально представить число π, потому что аналоговые символы не имеют минимального предела степени, на которую они могут быть увеличены или уменьшены.

Если моя счётная линейка показывает фигуру 3.141593 вместо 3.141592654, я могу немного сдвинуть ползунок (больше или меньше), чтобы приблизиться ещё больше. Однако с цифровым представлением, таким как со счётами, мне понадобятся дополнительные стержни (разряды, или цифры) для представления π до дальнейших степеней точности.

Счёты с 10 стержнями просто не могут представить больше 10 знаков числа π, как бы я ни устанавливал бусины. Для идеального представления π счётам пришлось бы иметь бесконечное количество бусин и стержней! Компромисс, конечно, — практическое ограничение на настройку и чтение аналоговых символов.

Практически говоря, нельзя прочитать шкалу счётной линейки до 10-го знака точности, потому что метки на шкале слишком грубы и человеческое зрение слишком ограничено. Счёты, с другой стороны, могут быть установлены и прочитаны без интерпретационных ошибок вообще.

Кроме того, аналоговые символы требуют некоторого стандарта, которым их можно сравнивать для точной интерпретации. Счётные линейки имеют маркировки, напечатанные вдоль длины ползунов, чтобы переводить длину в стандартные величины.

Даже термометрическая диаграмма имеет цифры, написанные вдоль её высоты, чтобы показывать, сколько денег (в долларах) красная колонка представляет для любого данного количества высоты. Представьте, если бы мы все пытались передать простые числа друг другу, раздвигая руки на разные расстояния.

Число 1 могло бы означаться держанием рук на 1 дюйм в стороне, число 2 — на 2 дюйма, и так далее. Если бы кто-то держал руки на 17 дюймов в стороне для представления числа 17, смогли бы все вокруг немедленно и точно интерпретировать это расстояние как 17? Вряд ли.

Некоторые угадали бы меньше (15 или 16), а некоторые — больше (18 или 19). Конечно, рыбаки, хвастающиеся своими уловами, не против переоценки количества!

Возможно, именно поэтому люди в целом остановились на цифровых символах для представления чисел, особенно целых чисел и целых, которые находят наибольшее применение в повседневной жизни.

Используя пальцы наших рук, у нас есть готовое средство символизирования целых чисел от 0 до 10. Мы можем делать черты на бумаге, дереве или камне для представления тех же количеств довольно легко:

Для больших чисел, однако, система нумерации «черты» слишком неэффективна.