Обозначение полярной и прямоугольной формы для комплексных чисел

Чтобы работать с комплексными числами без рисования векторов, нам сначала нужны какие-то стандартные математические обозначения. Существует две основных формы записи комплексных чисел: полярные и прямоугольный .

Полярная форма комплексного числа

В полярной форме комплексное число обозначается длиной . (иначе известная как величина , абсолютное значение , или модуль ) и угол его вектора (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом:∠).

Если использовать аналогию с картой, полярное обозначение вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего будет примерно таким:«2400 миль к юго-западу». Вот два примера векторов и их полярные обозначения:

Векторы с полярными обозначениями.

Стандартная ориентация векторных углов при расчетах цепей переменного тока определяет 0 ° как вправо (по горизонтали), то есть 90 ° прямо вверх, 180 ° влево и 270 ° прямо вниз. Обратите внимание, что векторы, расположенные под углом «вниз», могут иметь углы, представленные в полярной форме в виде положительных чисел, превышающих 180, или отрицательных чисел, меньших 180.

Например, вектор, расположенный под углом ∠ 270 ° (прямо вниз), можно также сказать, что он имеет угол -90 °. (Рисунок ниже) Вышеупомянутый вектор справа (7,81 ∠ 230,19 °) также может быть обозначен как 7,81 ∠ -129,81 °.

Векторный компас.

Прямоугольная форма комплексного числа

С другой стороны, прямоугольная форма - это когда комплексное число обозначается соответствующими горизонтальными и вертикальными компонентами. По сути, угловой вектор считается гипотенузой прямоугольного треугольника, описываемого длинами соседних и противоположных сторон.

Вместо того, чтобы описывать длину и направление вектора посредством обозначения величины и угла, он описывается в терминах «как далеко влево / вправо» и «как далеко вверх / вниз».

Эти двумерные фигуры (горизонтальные и вертикальные) обозначаются двумя числовыми цифрами. Чтобы различать горизонтальные и вертикальные размеры друг от друга, перед вертикальными ставится префикс в нижнем регистре «i» (в чистой математике) или «j» (в электронике).

Эти строчные буквы не представляют физическую переменную (например, мгновенный ток, также обозначаемый строчной буквой «i»), а скорее являются математическими операторами . используется, чтобы отличать вертикальную составляющую вектора от ее горизонтальной составляющей. В виде полного комплексного числа горизонтальные и вертикальные величины записываются в виде суммы:(рисунок ниже)

В «прямоугольной» форме длина и направление вектора обозначаются в терминах его горизонтального и вертикального диапазона, первое число представляет горизонтальный («реальный»), а второе число (с префиксом «j»), представляющее вертикальные («мнимые») размеры.

Горизонтальный компонент называется реальным компонент, поскольку это измерение совместимо с нормальными скалярными («действительными») числами. Вертикальный компонент называется мнимым компонент, поскольку это измерение лежит в другом направлении, совершенно чуждом масштабу действительных чисел. (Рисунок ниже)

Векторный компас, показывающий действительные и мнимые оси.

«Реальная» ось графика соответствует знакомой числовой линии, которую мы видели ранее:с положительными и отрицательными значениями на ней. «Мнимая» ось графика соответствует другой числовой прямой, расположенной под углом 90 ° к «реальной».

Поскольку векторы являются двухмерными объектами, у нас должна быть двухмерная «карта», на которой они будут выражены, то есть две числовые линии, перпендикулярные друг другу:(рисунок ниже)

Векторный компас с реальными и мнимыми («j») числовыми линиями.

Преобразование полярной формы в прямоугольную

Для комплексных чисел допустим любой метод записи. Основная причина наличия двух методов записи - простота вычислений от руки, прямоугольная форма позволяет использовать сложение и вычитание, а полярная форма позволяет использовать умножение и деление.

Преобразование между двумя формами записи требует простой тригонометрии. Чтобы преобразовать полярную величину в прямоугольную, найдите действительную составляющую, умножив полярную величину на косинус угла, и мнимую составляющую, умножив полярную величину на синус угла.

Это может быть легче понять, если изобразить величины как стороны прямоугольного треугольника, гипотенуза треугольника представляет сам вектор (его длина и угол по отношению к горизонтали, составляющие полярную форму), горизонтальная и вертикальная стороны представляют собой « реальные »и« мнимые »прямоугольные компоненты, соответственно:(рисунок ниже)

Вектор магнитуды в единицах действительной (4) и мнимой (j3) составляющих.

Преобразование прямоугольной формы в полярную

Чтобы преобразовать прямоугольную форму в полярную, найдите полярную звездную величину с помощью теоремы Пифагора (полярная величина - это гипотенуза прямоугольного треугольника, а действительная и мнимая составляющие являются смежными и противоположными сторонами соответственно), а угол равен считая арктангенс мнимой составляющей, деленной на реальную составляющую:

ОБЗОР:

• Полярный обозначение обозначает комплексное число с точки зрения длины его вектора и углового направления от начальной точки. Пример:пролететь 45 миль ∠ 203 ° (запад на юго-запад).
• Прямоугольный обозначение обозначает комплексное число с точки зрения его горизонтального и вертикального размеров. Пример:проехать 41 милю на запад, затем повернуть и проехать 18 миль на юг.
• В прямоугольной записи первая величина - это «реальный» компонент (горизонтальный размер вектора), а вторая величина - «мнимый» компонент (вертикальный размер вектора). Мнимой составляющей предшествует строчная буква «j», которую иногда называют оператором j . .
• Как полярная, так и прямоугольная формы записи комплексного числа могут быть связаны графически в форме прямоугольного треугольника, где гипотенуза представляет сам вектор (полярная форма:длина гипотенузы =величина; угол относительно горизонтальной стороны =угол ), горизонтальная сторона представляет прямоугольный «реальный» компонент, а вертикальная сторона представляет прямоугольный «мнимый» компонент.

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

• Рабочий лист фазы переменного тока