Полярная и прямоугольная формы комплексных чисел — Практическое руководство

Комплексные числа лежат в основе многих областей инженерии и математики. Для эффективной работы с ними — без постоянного рисования векторов — используют две стандартные записи: полярную и прямоугольную. Статья объясняет обе формы, правила преобразования и случаи наилучшего применения каждой.

Полярная форма комплексного числа

В полярной записи комплексное число задаётся его модулем (также называемым величиной или абсолютным значением) и углом, который вектор образует с положительной вещественной осью. Угол обычно обозначают символом ∠.

Аналогия с картой: полярная запись вектора из Нью-Йорка в Сан-Диего может звучать как «2400 миль, юго-запад». На рисунке показаны два вектора и их полярные обозначения:

Векторы с полярными обозначениями.

В расчётах переменного тока стандартная ориентация: 0° — вправо (восток), 90° — вверх (север), 180° — влево (запад), 270° — вниз (юг). Векторы, направленные «вниз», можно задавать углами больше 180° или как отрицательные углы менее 0°. Например, вектор ∠270° (прямо вниз) эквивалентен –90°. Вектор 7.81 ∠230.19° также записывается как 7.81 ∠–129.81°.

Векторный компас.

Прямоугольная форма комплексного числа

Прямоугольная запись описывает комплексное число через горизонтальную (вещественную) и вертикальную (мнимую) компоненты. Геометрически комплексное число — гипотенуза прямоугольного треугольника, где горизонтальный катет — вещественная часть, вертикальный — мнимая.

В чистой математике мнимую часть предваряют строчной i, в электротехнике — j. Это лишь обозначения, не несущие физического смысла.

Пример:

Прямоугольная форма: горизонтальная (вещественная) + вертикальная (мнимая) компоненты.

Вещественная ось соответствует привычной числовой прямой, мнимая — второй числовой прямой, повёрнутой на 90°.

Векторный компас с вещественной и мнимой (j) осями.

Так как комплексные числа двумерны, для их представления нужны две перпендикулярные оси. Комбинированная диаграмма:

Векторный компас с вещественной и мнимой (j) числовыми прямыми.

Преобразование из полярной в прямоугольную

Обе формы корректны; выбор зависит от операции. Прямоугольная удобна для сложения и вычитания, полярная — для умножения и деления. Переход от полярной к прямоугольной использует базовую тригонометрию:

• Вещественная часть = модуль × cos(угол)
• Мнимая часть = модуль × sin(угол)

Эти соотношения следуют из прямоугольно-треугольного представления комплексного числа.

Вектор модуля через вещественную (4) и мнимую (j3) компоненты.

Преобразование из прямоугольной в полярную

Обратный путь: сначала модуль по теореме Пифагора, затем угол через арктангенс отношения мнимой части к вещественной:

• Модуль = √(вещественная² + мнимая²)
• Угол = atan2(мнимая, вещественная)

Примеры расчётов показаны на рисунке:

Основные выводы

• Полярная запись задаёт комплексное число длиной (модулем) и направлением (углом).
• Прямоугольная запись — через горизонтальную (вещественную) и вертикальную (мнимую) компоненты.
• Мнимая компонента обозначается строчной j (в электронике) или i (в математике).
• Обе формы соответствуют прямоугольному треугольнику: гипотенуза = модуль, прилежащий катет = вещественная часть, противолежащий = мнимая часть.

Связанный рабочий лист

• Рабочий лист по фазам переменного тока