Понимание диаграмм Венна: визуализация отношений множеств

Математики используют диаграммы Венна для показа логических отношений множеств (коллекций объектов) друг к другу. Возможно, вы уже видели диаграммы Венна в алгебре или других математических курсах. Если да, вы помните пересекающиеся круги и объединение и пересечение множеств.

Мы повторим пересекающиеся круги диаграммы Венна. Будем использовать термины ИЛИ и И вместо объединения и пересечения, так как это терминология цифровой электроники.

Диаграмма Венна связывает булеву алгебру из предыдущей главы с картой Карно. Мы свяжем то, что вы уже знаете о булевой алгебре, с диаграммами Венна, затем перейдем к картам Карно.

Множество — это коллекция объектов из вселенной, как показано ниже. Элементы множества — объекты, содержащиеся в нем. Элементы обычно имеют что-то общее, хотя это не обязательно.

Из вселенной вещественных чисел, например, множество всех положительных целых {1,2,3…} — множество. Множество {3,4,5} — пример меньшего множества, или подмножества множества всех положительных целых. Другой пример — множество всех мужчин из вселенной студентов колледжа. Можете привести свои примеры множеств?

Слева вверх — диаграмма Венна, показывающая множество А в круге внутри вселенной U, прямоугольной области. Если всё внутри круга — А, то все вне круга — не А. Таким образом, по центру вверх, мы маркируем прямоугольную область вне круга А как не-А вместо U. Б и не-Б показаны аналогично.

Что если и А, и Б содержатся в одной вселенной? Показываем четыре возможности.

Рассмотрим каждую из четырех возможностей, показанных выше.

Первый пример показывает, что множества А и Б не имеют ничего общего по диаграмме Венна. Нет перекрытия между штрихованными круговыми областями А и Б. Например, пусть множества А и Б содержат:

 множество A = {1,2,3,4} 
множество B = {5,6,7,8}

Ни один элемент А не содержится в Б, ни один элемент Б — в А. Следовательно, нет перекрытия кругов.

Во втором примере множество А полностью содержится в множестве Б. Как объяснить? Пусть:

 множество A = {1,2} 
множество B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Все элементы А также элементы Б. Поэтому А — подмножество Б. Так как все элементы А входят в Б, А рисуется полностью внутри границы Б.

Существует пятый случай, не показан среди четырех примеров. Подсказка: он похож на последний (четвертый). Нарисуйте диаграмму Венна для пятого случая.

Третий пример показывает идеальное перекрытие А и Б. Кажется, оба множества содержат одни и те же элементы. Пусть:

 множество A = {1,2,3,4} 
множество B = {1,2,3,4}

Следовательно,

 Множество A = Множество B

Множества А и Б тождественно равны, так как имеют одинаковые элементы. Области А и Б на диаграмме Венна полностью перекрываются. Если есть сомнения, обратитесь к любой фигуре выше или ниже, чтобы убедиться, как выглядели круговые области до наложения.

Четвертый пример показывает, что между А и Б есть общие элементы в области перекрытия. Для иллюстрации выберем:

 множество A = {1,2,3,4} 
множество B = {3,4,5,6}

Множества А и Б имеют общие элементы 3 и 4. Именно они вызывают перекрытие в центре, общем для А и Б. Рассмотрим эту ситуацию подробнее.