Псевдоспин-контролируемая однонаправленная передача в графиновых топологических плазмонных кристаллах

Аннотация

Происходя из исследования конденсированных материи состояний, концепция квантового Холла эффекта и квантового спинового Холла эффекта (QSHE) недавно расширилась на другие области физики и инженерии, например, фотоники и фононики, даваяrise к необычно устойчивым к рассеянию краевым модам. Здесь мы представляем плазмонный аналог QSHE в графиновом плазмонном кристалле (GPC) в среднеинфракрасных частотах. Бандовая инверсия происходит при деформации медовочной решетки GPCs, что дальше приводит к топологическим запрещенным зонам и псевдоспиновым признакам краевых состояний. Перекрывая запрещенные зоны с разными топологиями, мы численно смоделировали псевдоспин-зависимое одностороннее распространение краевых состояний. Проектируемый GPC может найти потенциальные применения в области топологической плазмоники и запустить исследование техники псевдоспин мультиплексирования в высокоплотных нанофотонных интегральных схемах.

Введение

Фотонные топологические изоляторы [1–4], оптические материалы нетривиальной топологической фазы, запрещающие светопередачу в их внутренностях, но позволяющие распространение вдоль краев, изучались интенсивно после открытия квантового Холла эффекта (QHE) в конденсированных материях. Ключевое проявление топологической физики — наличие краевых состояний, устойчивых к структурным дефектам или локальным беспорядкам. В частности, используя соответствие объем-край [5, 6], можно исследовать разные топологические фазы зондируя краевые состояния или краевые топологические инварианты. В последние годы топологические краевые состояния были предсказаны и наблюдаены во многих фотонных топологических запрещенных зонах системах, таких как гиромагнитные фотонные кристаллы [7–9], би-анизотропные-базированные фотонные топологические изоляторы [10, 11], связанные волноводовые сети [12, 13] и Флоке фотонные решетки [14, 15], где различные физические механизмы предложены для обеспечения топологической защиты. В частности, двойной Дирак конус был открыт для получения нетривиальной топологической запрещенной зоны в хорошо известном медовочном фотонном кристалле, сохраняющем псевдо-временную-обратную симметрию, что порождает псевдоспин-зависимую однонаправленную передачу краевых состояний [16, 17]. Помимо фотонных систем, псевдоспин-зависимые крайние состояния в фононных системах изучались [18–20]. Однако аналогия в плазмонных наноструктурах еще не была сообщена, что связано с огромными омическими потерями плазмонов, распространяющихся вдоль традиционных плазмонных материалов таких как Au и Ag.

Поверхностные плазмонно-поляритоны (SPPs) [21], элементарные возбуждения, связанные фотонами и свободно-электронными колебаниями на интерфейсе между металлом и диэлектриком, рассматриваются как перспективный физический механизм для обхода дифракционного предела и продвижения миниатюризации устройств. Iurov et al. исследовали обратное действие и гибридизацию плазмонных мод и нашли индуцированную оптическую поляризацию Дираковыми электронами в графене [22]. Memmi et al. сообщили о сильном связывании между SPPs и молекулярными вибрациями [23]. В то время как обычно используемые благородные металлы такие как золото и серебро демонстрируют плазмонные свойства в основном в видимом и ближнем инфракрасном диапазоне спектра, графен недавно возник как перспективная альтернатива, способная расширить поле плазмоники в инфракрасные и тергерцовые (THz) длины волн. Что более важно, в отличие от благородных металлов, графеновые плазмоны могут быть динамически настроены через электростатическое смещение [24, 25], что позволяет новое поколение переконфигурируемых плазмонных устройств. Кроме того, SPPs, возбужденные в высококачественном графене, могут достигать замечательно длинных внутренних времен релаксации и обеспечивать беспрецедентные уровни поля конфиnementа [26]. Эти выдающиеся свойства делают графен идеальным кандидатом для все-интегрированных топологических плазмонных компонентов. Очень недавно Jin et al. реализовали топологически защищенные односторонние краевые плазмоны в периодически структурированном монослое графена, где бандовая топология графеновых плазмон под временной-обратной-ломающим магнитным полем изучалась детально [27]. И Pan et al. продемонстрировали существенное нереципрокальное поведение на суперрешетчатых стыках под умеренными статическими магнитными полями, приводя к появлению топологически защищенных краевых состояний и локализованных объемных мод [28].

В этой работе мы теоретически исследуем топологические свойства двумерных (2D) графиновых плазмонных кристаллов (GPCs), построенных из периодически расположенных графиновых нанодисков. Дирак конусы в углах Бриллюеновой зоны (BZ) складываются в двойной Дирак конус в центре BZ используя механизм зонного складывания. Для получения топологических запрещенных зон мы берем дальнейшие деформации на медовочной решетке. Сжимая или расширяя графеновые нанодиски, двойной Дирак конус открывается и бандовая инверсия происходит между псевдоспин дипольными и квадрупольными модами, что дальше приводит к топологическому фазовому переходу между нетривиальными и тривиальными состояниями. Более того, одностороннее распространение краевых состояний численно смоделировано вдоль интерфейса, построенного тривиальными и нетривиальными GPCs, что дальше демонстрирует псевдоспин характеристики и топологическую надежность наших спроектированных плазмонных кристаллов.

Методы

Мы исследуем бандовую топологию SPPs в 2D плазмонном кристалле массива периодически расположенных графиновых нанодисков, окруженных тем же слоем графена с разным химическим потенциалом как показано на Рис. 1a. Решетчная константа a = 40 нм, μ_c1 и r — химический потенциал и радиусы графиновых нанодисков; μ_c2 обозначает химический потенциал окружающего графена. Решая уравнения Максвелла с граничными условиями, мы получаем дисперсионное соотношение для трансверсально-магнитных (TM)-поляризованных SPP мод, поддерживаемых на графеновом слое, окруженном воздухом и силицием [29]:

$$ \frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{Air}}}+\frac{\varepsilon_{Si{O}_2}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}}=\frac{\sigma_g}{i{\omega \varepsilon}_0}. $$ (1)

a Схемы 2D GPCs. b Бриллюеновы зоны. c Бандовая структура решетки на базе ромбической примитивной единичной ячейки, обозначенной зелеными пунктирными линиями, вставки изображают собственные электрические поле распределения Дирак точки. d Бандовая структура решетки на базе шестигранной единичной ячейки, вставки изображают собственные электрические поле распределения двойной Дирак точки. Другие параметры установлены как μ_c1 = 0,3 эВ, μ_c2 = 0,6 эВ, τ = 1 пс, решетчная константа a = 40 нм

Здесь ε₀ — вакуумная проницаемость свободного пространства, k₀ = 2π/λ — волновое число в свободном пространстве, и λ — рабочая длина волны в вакууме. В среднеинфракрасном регионе диэлектрические постоянные воздуха и силициа, соответствующие супер- и подложкам, предполагаются ε_Air = 1 и ε_SiO2 = 3,9 соответственно [30]. В неретардированном режиме где β » k₀, Уравнение (3) может быть упрощено к [31].

$$ \beta ={\varepsilon}_0\frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}+{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}{2}\frac{2 i\omega}{\sigma_{\mathrm{g}}}, $$ (2)

где β — постоянная распространения SPPs на графеновом слое, и эффективный рефракционный индекс n_eff SPP моды может быть выведен из n_eff = β/k₀. σ_g — поверхностная проводимость графета, состоящая из вкладов внутризонного и межзонного, то есть σ_g = σ_intra + σ_inter [29, 30]. Внутризонная проводимость σ_intra, соответствующая внутризонному электрон-фотон рассеянию процессу, дается

$$ {\sigma}_{\mathrm{intra}}=\frac{ie^2{k}_BT}{\pi {\hbar}^2\left(\omega +i/\tau \right)}\left[\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}+2\ln \left(1+\exp \left(-\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}\right)\right)\right], $$ (3)

где μ_c — химический потенциал, относящийся к электронной плотности, e — электронный заряд, ω — угловая частота плазмона, ℏ и k_B — приведенная постоянная Планка и постоянная Больцмана соответственно, T — температура, и τ представляет электронное импульсное время релаксации из-за заряда несущего рассеяния. Для ℏω » k_B T и |μ_c| » k_B T, межзонная проводимость σ_inter, соответствующая межзонным электронным переходам, может быть приближенно выражена как

$$ {\sigma}_{\mathrm{inter}}=\frac{ie^2}{4\pi \hbar}\ln \left[\frac{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid -\hbar\left(\omega +i/\tau \right)}{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid +\hbar\left(\omega +i/\tau \right)}\right]. $$ (4)

Результаты и обсуждение

Энергетические бандовые структуры предложенных плазмонных кристаллов получены применением метода конечных элементов (FEM) базированного коммерчески доступного ПО COMSOL Multiphysics. В Рис. 1a мы замечаем, что и ромбическая единичная ячейка двух графиновых нанодисков (зеленый пунктирный ромб, определенный векторами a_s1 и a_s2) и шестигранная единичная ячейка шести графиновых нанодисков (с решетчными векторами a_1 и a_2) могут формировать медовочную-решетчатые плазмонные кристаллы. Рисунок 1b представляет BZs для ромбической и шестигранной единичных ячеек, с ирредуцируемыми зонами M_II-Γ_II-K_II-M_II и M_I-Γ_I-K_I-M_I соответственно. Обратите внимание, что шестигранная единичная ячейка в три раза больше ромбической примитивной. Следовательно, первая BZ ромбической примитивной единичной ячейки в три раза больше той шестигранной (синяя область на Рис. 1b). Принимая ромбическую примитивную единичную ячейку, этот плазмонный кристалл демонстрирует Дирак конус дисперсию в K_II и K_II` точках в углах BZ как показано на Рис. 1c. Вставки на Рис. 1c показывают собственные электрические поле распределения двух вырожденных состояний в Дирак точке. Аналогично псевдо-спинам в классических фотонных и акустических системах [17, 19, 20], для подражания аналогу псевдо-спинов в плазмонной системе, степень свободы должна быть увеличена до двухсостояний. Таким образом, четырехвырожденные двойные Дирак конусы в плазмонной бандовой структуре требуются. Используя механизм зонного складывания [18], Дирак конусы в K_II и K_II` точках складываются в двойной Дирак конус в Γ точке в центре BZ когда берется большая шестигранная единичная ячейка (как показано на Рис. 1d). Вставки на Рис. 1d показывают четырехвырожденные собственные состояния с дипольными и квадрупольными модами. Относительные параметры мы используем μ_c1 = 0,3 эВ, μ_c2 = 0,6 эВ и τ = 1 пс, которые умеренно выбраны из предыдущих исследований для практического графена [32, 33].

Четырехвырожденные двойные Дирак конусы, составленные из двух дипольных и двух квадрупольных модов, ассоциированы с двумя 2D ирредуцируемыми представлениями C_6v точечной группы, а именно, E_1 моды нечетной пространственной паритета и E_2 моды четной пространственной паритета. Следуя общепринятой нотации, широко принятой в квантовой механике [34], мы можем классифицировать эти моды в p_x/p_y и d_x2-y2/d_xy моды согласно их собственным E_z поле распределениям показанным на Рис. 2. Далее, для открытия нетривиальной топологической запрещенной зоны в Γ точке, мы берем дальнейшие модификации (то есть деформируя медовочную решетку a/R = 3) на шестигранной единичной ячейке для нарушения симметрии. Сжимая графеновые нанодиски до a/R = 3,2, четырехвырожденный двойной Дирак конус расщепляется на два двухвырожденных состояния и объемная запрещенная зона открывается от 62,1 до 63,5 ТГц как показано на Рис. 2a. E_z поля нижних банд имеют пару дипольных модов, демонстрирующих p_± характер, в то время как верхние баны имеют пару квадрупольных модов, демонстрирующих d_± характер вокруг Γ точки, что согласуется с классической фотонной теорией что дипольные моды должны демонстрировать более низкую частоту чем высшие порядковые квадрупольные моды. Однако бандовая инверсия происходит при расширении графиновых нанодисков до a/R = 2,9, то есть дипольные моды поднимаются выше квадрупольных модов, что привносит топологическую нетривиальную запрещенную зону от 62,4 до 63,3 ТГц как показано на Рис. 2c. Рисунок 2d, e иллюстрирует процесс топологического перехода между p_± и d_± состояниями, и в-плоскостные магнитные поля ассоциированные с p_± и d_± отмечены белыми стрелками. Угловые импульсы волновой функции E_z полей p_± = (p_x ± i p_y)/√2 и d_± = (d_x2-y2 ± i d_xy)/√2 дальше составляют псевдоспин в настоящих плазмонных кристаллах [17, 18].

Бандовые структуры GPCs с a a/R = 3,2, b a/R = 3, и c a/R = 2,9. d, e E_z поле распределения дипольных модов и квадрупольных модов p_± и d_± состояний в a и c соответственно. Белые стрелки представляют в-плоскостные магнитные поля ассоциированные с E_z полем

Для дальнейшего изучения топологического свойства запрещенных зон показанных на Рис. 2a, c, оно обычно связано с эффективным Гамильтониан описанием и топологическими числами. Применяя k·p пертурбационную теорию, эффективный Гамильтониан H_eff(k) вокруг Γ точки на базе [p_+, d_+, p_-, d_-] может быть выражен как [17, 35].

$$ {H}^{\mathrm{eff}}(k)=\left[\begin{array}{cccc}M+{Bk}^2& {Ak}_{+}& 0& 0\\ {}{A}^{\ast }{k}_{-}& -M-{Bk}^2& 0& 0\\ {}0& 0& M+{Bk}^2& {Ak}_{-}\\ {}0& 0& {A}^{\ast }{k}_{+}& -M-{Bk}^2\end{array}\right], $$ (5)

где k_± = k_x ± i k_y, и A приходит из внедиагональных элементов первого-порядкового пертурбационного термина M_αβ = ⟨Γ_α|k·p|Γ_β⟩ с α = 1, 2 и β = 3, 4. Эффективный Гамильтониан H_eff(k) принимает похожую форму как Берневиг-Хьюгх-Чжан (BHZ) модель для CdTe/HgTe/CdTe квантовой колодяжной системы [36], подразумевая топологическую запрещенную зону когда бандовая инверсия происходит. Основанный на Гамильтониане выраженном в Уравнении (5), мы можем оценить спиновые Черновые числа топологических плазмонных кристаллов как [36].

$$ {C}_{\pm }=\pm \frac{1}{2}\left[\operatorname{sgn}(M)+\operatorname{sgn}\left(-B\right)\right]. $$ (6)

Здесь M = (E_p – E_d)/2 — частота разница между E_2 и E_1 представлениями в Γ точке. B определяется диагональными элементами второго-порядкового пертурбационного термина и обычно отрицателен [19]. Таким образом, C_± = 0 получается при нормальном бандовом порядке как показано на Рис. 2a. И мы заключаем, что открытая запрещенная зона тривиальна. Однако M становится положительным когда бандовая инверсия происходит. Следовательно, C_± = ±1 просто получается, и запрещенная зона на Рис. 2c нетривиальна.

Перекрывая запрещенные зоны с разными топологиями (то есть топологически тривиальные и топологически нетривиальные), можно создать крайние состояния, пространственно ограниченные вокруг интерфейса между двумя плазмонными кристаллами. Здесь мы рассматриваем ленту топологически нетривиального плазмонного кристалла (с бандовой структурой показанной на Рис. 2c) с его двумя краями, обмотанными двумя топологически тривиальными плазмонными кристаллами (с бандовой структурой показанной на Рис. 2a) в том же частотном окне. Две тривиальные области предотвращают возможные крайние состояния от утечки в свободное пространство. На Рис. 3a мы представляем рассчитанные спроецированные бандовые структуры вдоль ΓK направления для такой ленты, где объемная запрещенная зона охватывается дополнительными топологическими крайними состояниями как показано двойными вырожденными красными кривыми. Рисунок 3b изображает электрические поле распределения, ограниченные вокруг интерфейса, построенного двумя уникальными кристаллами, соответствующими точкам A (с k_x = −0,05π/a) и B (с kx = 0,05π/a) отмеченным на Рис. 3a. Псевдо спин-вверх и спин-вниз характеристики свидетельствуются фазовыми вихрями против часовой стрелки и по часовой стрелке как иллюстрировано на правой панели Рисунка 3b.

a Спроецированная бандовая структура для суперячейки составленной из 16 нетривиальных единичных ячеек обмотанных 12 тривиальными единичными ячейками с обеих сторон. b Электрические поле распределения вокруг интерфейса между тривиальными и нетривиальными плазмонными кристаллами в точках A и B, то есть при k_x = −0,05π/a и 0,05π/a соответственно

Псевдоспин-зависимая однонаправленная передача краевых состояний также демонстрируется в конечной 20a × 18a решетке, построенной тривиальными и нетривиальными кристаллами. Как показано на Рис. 4a, b, одностороннее распространение SPP волны влево (вправо) направление когда возбуждается псевдо спин-вверх (спин-вниз) источник S_+ (S_-) против часовой стрелки (по часовой стрелке) круговой поляризации в-плоскостного магнитного поля. Одной из самых отличительных черт топологических краевых состояний является то, что они надежны против возмущений/несовершенств. Для верификации этой надежности мы конструируем острые изгибы как показано на Рис. 4c, где однонаправленная передача SPP волны возбуждается псевдо спин-вниз источником S_-. SPP волна в конечном счете затухает после длинного перемещения вдоль острых изгибов из-за внутренних потерь графенового материала. Для дальнейшего подтверждения этой топологической передачи мы также демонстрируем электрическое поле интенсивность распределение игнорируя внутренние потери графена для сравнения. Как видно из Рисунка 4d, SPP волна следует спроектированному маршруту и поддерживает однонаправленное распространение с малым обратным рассеянием.

a Левонаправленное и b правонаправленное односторонние крайние состояния возбужденные в-плоскостным магнитным полем с π/2 фазовой разницей: S_± = H_0(x ∓ i y). c Топологические крайние состояния движущиеся вдоль острых изгибов. d Электрическое поле интенсивность распределение топологической однонаправленной передачи без учета внутренних потерь графенового материала

Заключение

В резюме, мы систематически исследовали бандовые топологии GPCs, построенных периодически структурированными графеновыми нанодисками. Используя механизм зонного складывания, Дирак конусы в углах BZ складываются в двойной Дирак конус в центре BZ. Дальше, топологические запрещенные зоны реализованы деформируя медовочную решетку GPCs. Основанные на эффективном Гамильтониане, выведенном k·p пертурбационной теорией, спиновые Черновые числа оценены. Псевдоспин характеристики, подтвержденные фазовыми вихрями против часовой стрелки и по часовой стрелке, успешно использованы для реализации однонаправленной передачи краевых состояний вдоль интерфейса, построенного двумя топологически тривиальными и нетривиальными плазмонными кристаллами. Проектируемый GPC предоставляет новый путь для исследования топологических явлений и может найти потенциальные применения в области топологической плазмоники. Это также может запустить исследование псевдоспин плазмоники и технику псевдоспин мультиплексирования в высокоплотных нанофотонных интегральных схемах.

Аббревиатуры

BHZ:

Берневиг-Хьюгх-Чжан

BZ:

Бриллюенова зона

FEM:

Метод конечных элементов

GPC:

Графиновый плазмонный кристалл

QHE:

Квантовый Холл эффект

QSHE:

Квантовый спиновой Холл эффект

SPPs:

Поверхностные плазмонно-поляритоны