Последовательно-параллельные R, L и C

Теперь, когда мы увидели, что анализ последовательной и параллельной цепей переменного тока принципиально не отличается от анализа цепей постоянного тока, неудивительно, что последовательно-параллельный анализ будет таким же, просто с использованием комплексных чисел вместо скаляра для представления напряжение, ток и сопротивление. Возьмем, к примеру, эту последовательно-параллельную схему:

Пример последовательно-параллельной схемы R, L и C.

Первым делом, как обычно, является определение значений импеданса (Z) для всех компонентов на основе частоты источника питания переменного тока. Для этого нам нужно сначала определить значения реактивного сопротивления (X) для всех катушек индуктивности и конденсаторов, а затем преобразовать значения реактивного сопротивления (X) и сопротивления (R) в правильную форму импеданса (Z):

Теперь мы можем установить начальные значения в нашей таблице:

Последовательно-параллельная комбинация цепи, мы должны уменьшить его до полного импеданса более чем за один шаг. Первый шаг - объединить L и C ₂ в виде последовательной комбинации импедансов путем сложения их импедансов вместе.

Затем этот импеданс будет объединен параллельно с сопротивлением резистора, чтобы получить другую комбинацию импедансов. Наконец, эта величина будет добавлена ​​к импедансу C ₁ чтобы получить полное сопротивление.

Чтобы наша таблица могла выполнять все эти шаги, необходимо добавить в нее дополнительные столбцы, чтобы можно было представить каждый шаг.

Добавление дополнительных столбцов по горизонтали в таблицу, показанную выше, было бы непрактично по причинам форматирования, поэтому я помещу под ним новую строку столбцов, каждый столбец обозначен соответствующей комбинацией компонентов:

Расчет этих новых (комбинированных) импедансов потребует сложного сложения для последовательных комбинаций и «обратной» формулы для сложных параллельных сопротивлений. На этот раз не обойтись без формулы взаимности:требуемые цифры не могут быть получены другим путем!

Поскольку наша вторая таблица содержит столбец «Итого», мы можем безопасно исключить этот столбец из первой таблицы. Это дает нам одну таблицу с четырьмя столбцами и другую таблицу с тремя столбцами.

Теперь, когда мы знаем общий импеданс (818,34 Ом -58,371 °) и полное напряжение (120 В ± 0 °), мы можем применить закон Ома (I =E / Z) по вертикали в столбце «Всего», чтобы получить цифра для полного тока:

Здесь мы задаемся вопросом:существуют ли какие-либо компоненты или комбинации компонентов, которые разделяют либо общее напряжение, либо общий ток? В этом случае оба C ₁ и параллельная комбинация R // (L — C ₂ ) разделяют один и тот же (общий) ток, поскольку общий импеданс состоит из двух последовательных наборов импедансов.

Таким образом, мы можем перенести показатель полного тока в оба столбца:

Теперь мы можем рассчитать падение напряжения на C ₁ и последовательно-параллельная комбинация R // (L — C ₂ ) с помощью закона Ома (E =IZ) вертикально в этих столбцах таблицы:

Быстрая перепроверка нашей работы на этом этапе будет заключаться в том, чтобы увидеть, падает ли напряжение на C ₁ и последовательно-параллельная комбинация R // (L — C ₂ ) действительно составляют общую сумму. Согласно закону Кирхгофа, они должны!

Этот последний шаг был просто мерой предосторожности. В задаче с таким количеством шагов, как у этой, есть много возможностей для ошибки. Периодические перекрестные проверки, подобные этой, могут сэкономить человеку много работы и избавить от ненужных разочарований, выявляя проблемы до их последнего шага.

Решив для падения напряжения на C ₁ и комбинация R // (L — C ₂ ), мы снова задаемся вопросом:какие еще компоненты имеют такое же напряжение или ток?

В этом случае резистор (R) и комбинация катушки индуктивности и второго конденсатора (L — C ₂ ) имеют одинаковое напряжение, потому что эти наборы импедансов параллельны друг другу. Следовательно, мы можем перенести только что вычисленное значение напряжения в столбцы для R и L — C ₂ :

Теперь у нас все готово для расчета тока через резистор и через последовательную комбинацию L — C ₂ . . Все, что нам нужно сделать, это применить закон Ома (I =E / Z) по вертикали в обоих этих столбцах:

Еще одна быстрая перепроверка нашей работы на этом этапе - увидеть, соответствуют ли текущие показатели L — C ₂ и R складываются в общий ток. Согласно действующему закону Кирхгофа, они должны:

Поскольку L и C ₂ соединены последовательно, и, поскольку мы знаем ток через их последовательное комбинированное сопротивление, мы можем распределить это значение тока на L и C ₂ столбцы, соответствующие правилу последовательных цепей, согласно которому последовательные компоненты имеют одинаковый ток:

Сделав один последний шаг (фактически, два вычисления), мы можем заполнить нашу аналитическую таблицу для этой схемы. Имея значения импеданса и тока для L и C ₂ , все, что нам нужно сделать, это применить закон Ома (E =IZ) по вертикали в этих двух столбцах, чтобы рассчитать падение напряжения.

Теперь обратимся к SPICE для компьютерной проверки нашей работы:

Пример последовательно-параллельной R, L, C схемы SPICE.

 последовательно-параллельная цепь переменного тока r-l-c v1 1 0 ac 120 грех вит 1 2 ac 0 vilc 3 4 ac 0 vir 3 6 ac 0 c1 2 3 4.7u л 4 5 650м c2 5 0 1.5u г 6 0 470 .ac lin 1 60 60 .print ac v (2,3) vp (2,3) i (vit) ip (vit) .print ac v (4,5) vp (4,5) i (vilc) ip (vilc) .print ac v (5,0) vp (5,0) i (vilc) ip (vilc). .print ac v (6,0) vp (6,0) i (vir) ip (vir) .конец 

 частота v (2,3) vp (2,3) i (vit) ip (vit) C1 6.000E + 01 8.276E + 01 -3.163E + 01 1.466E-01 5.837E + 01 

 freq v (4,5) vp (4,5) i (vilc) ip (vilc) L 6.000E + 01 1.059E + 01 -1.388E + 02 4.323E-02 1.312E + 02 

 частота v (5) vp (5) i (vilc) ip (vilc) C2 6.000E + 01 7.645E + 01 4.122E + 01 4.323E-02 1.312E + 02 

 freq v (6) vp (6) i (vir) ip (vir) R 6.000E + 01 6.586E + 01 4.122E + 01 1.401E-01 4.122E + 01 

Каждая строка выходного списка SPICE дает напряжение, фазовый угол напряжения, ток и фазовый угол тока для C ₁ , L, C ₂ , и R в таком порядке. Как видите, эти цифры совпадают с данными, рассчитанными нами вручную в таблице анализа цепей.

Каким бы сложной ни казался анализ последовательно-параллельных цепей переменного тока, следует подчеркнуть, что здесь нет ничего нового, кроме использования комплексных чисел. Закон Ома (в его новой форме E =IZ) по-прежнему остается в силе, как и законы Кирхгофа по напряжению и току.

Хотя существует большая вероятность ошибки человека при выполнении необходимых вычислений комплексных чисел, основные принципы и методы сокращения последовательно-параллельных цепей точно такие же.

ОБЗОР:

• Анализ последовательно-параллельных цепей переменного тока во многом аналогичен анализу последовательно-параллельных цепей постоянного тока. Единственное существенное отличие состоит в том, что все цифры и вычисления представлены в сложной (не скалярной) форме.
• Важно помнить, что перед тем, как можно будет начать последовательно-параллельное уменьшение (упрощение), вы должны определить полное сопротивление (Z) каждого резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Таким образом, все значения компонентов будут выражаться в общих терминах (Z) вместо несовместимого сочетания сопротивления (R), индуктивности (L) и емкости (C).

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

• Таблица последовательно-параллельных комбинированных цепей переменного тока