Псевдоспин-зависимая односторонняя передача в топологических плазмонных кристаллах на основе графена

Фон

Фотонные топологические изоляторы [1,2,3,4], оптические материалы с нетривиальной топологической фазой, которые запрещают светопропускание внутри, но допускают распространение по краям, интенсивно изучались после открытия квантового эффекта Холла (КЭХ) в конденсированных средах. иметь значение. Ключевым проявлением топологической физики является наличие краевых состояний, устойчивых к структурным дефектам или локальным нарушениям. В частности, используя соответствие объемного ребра [5, 6], можно исследовать различные топологические фазы, исследуя краевые состояния или краевые топологические инварианты. В последние годы топологические краевые состояния были предсказаны и наблюдались во многих фотонных топологических системах с запрещенной зоной, таких как гиромагнитные фотонные кристаллы [7,8,9], бианизотропные фотонные топологические изоляторы [10, 11], связанные волноводные сети. [12, 13] и фотонные решетки Флоке [14, 15], где предложены различные физические механизмы для обеспечения топологической защиты. Примечательно, что двойной конус Дирака был открыт для получения топологически нетривиальной запрещенной зоны в хорошо известном фотонном кристалле с сотовой решеткой, который сохраняет псевдосимметрию относительно обращения времени, что приводит к псевдоспин-зависимой однонаправленной передаче краевых состояний [16, 17]. Помимо фотонных систем, были исследованы псевдоспин-зависимые краевые состояния в фононных системах [18,19,20]. Однако аналогия с плазмонными наноструктурами еще не описана, что связано с огромными омическими потерями плазмонов, распространяющихся по традиционным плазмонным материалам, таким как Au и Ag.

Поверхностные плазмонные поляритоны (ПП) [21], элементарные возбуждения, связанные фотонами, и колебания свободных электронов на границе раздела между металлом и диэлектриком, рассматриваются как многообещающий физический механизм, позволяющий обойти дифракционные ограничения и способствовать миниатюризации устройств. . Юров и др. исследовали обратное действие и гибридизацию плазмонных мод и обнаружили индуцированную оптическую поляризацию дираковскими электронами в графене [22]. Memmi et al. сообщили о сильной связи между SPP и молекулярными колебаниями [23]. В то время как обычно используемые благородные металлы, такие как золото и серебро, проявляют плазмонные свойства в основном в видимой и ближней инфракрасной областях спектра, графен недавно стал многообещающей альтернативой, которая может расширить область плазмоники до инфракрасного и терагерцового (ТГц) диапазона. длины волн. Что еще более важно, в отличие от благородных металлов, графеновые плазмоны можно динамически настраивать с помощью электростатического смещения [24, 25], что позволяет создавать новое поколение реконфигурируемых плазмонных устройств. Более того, ППП, возбуждаемые в высококачественном графене, могут достигать удивительно больших времен собственной релаксации и обеспечивать беспрецедентные уровни ограничения поля [26]. Эти необычные свойства делают графен идеальным кандидатом на роль полностью интегрированных топологических плазмонных компонентов. Совсем недавно Jin et al. реализовал топологически защищенные односторонние краевые плазмоны в периодически структурированном монослое графена, где была детально исследована зонная топология графеновых плазмонов в магнитном поле, нарушающем обращение времени [27]. И Пан и др. продемонстрировали существенное невзаимное поведение на стыках сверхрешетки в умеренных статических магнитных полях, что привело к появлению топологически защищенных краевых состояний и локализованных объемных мод [28].

В данной работе мы теоретически исследуем топологические свойства двумерных (2D) плазмонных кристаллов графена (ГПК), построенных из периодически расположенных графеновых нанодисков. Конусы Дирака в углах зоны Бриллюэна (BZ) складываются в двойной конус Дирака в центре BZ с помощью механизма складывания зон. Чтобы получить топологические запрещенные зоны, мы предпримем дальнейшие деформации сотовой решетки. При сжатии или расширении графеновых нанодисков двойной конус Дирака открывается, и происходит инверсия зон между псевдоспиновыми дипольными и квадрупольными модами, что дополнительно приводит к топологическому фазовому переходу между нетривиальным и тривиальным состояниями. Кроме того, одностороннее распространение краевых состояний численно моделируется вдоль интерфейса, построенного с помощью тривиальных и нетривиальных GPC, что дополнительно демонстрирует характеристики псевдоспина и топологическую надежность разработанных нами плазмонных кристаллов.

Методы

Мы исследуем зонную топологию SPP в 2D плазмонном кристалле массива периодически расположенных графеновых нанодисков, окруженных одним и тем же листом графена с различным химическим потенциалом, как показано на рис. 1a. Постоянная решетки a =40 нм, μ _c1 , и r - химический потенциал и радиусы графеновых нанодисков; μ _c2 обозначает химический потенциал окружающего графена. Решая уравнения Максвелла с граничными условиями, мы получаем дисперсионное уравнение для поперечных магнитно-поляризованных (TM) -поляризованных мод SPP, поддерживаемых слоем графена, окруженным воздухом и кремнеземом [29]:

а Схемы 2D ГПХ. б Зоны Бриллюэна. c Зонная структура решетки на основе ромбической примитивной элементарной ячейки обозначена зелеными пунктирными линиями, на вставках показаны распределения собственного электрического поля точки Дирака. г Зонная структура решетки на основе гексагональной элементарной ячейки, на вставках показаны распределения собственного электрического поля двойной точки Дирака. Остальные параметры установлены как μ _c1 =0,3 эВ, μ _c2 =0,6 эВ, τ =1 пс, постоянная решетки a =40 нм

Здесь ε ₀ - вакуумная диэлектрическая проницаемость свободного пространства, k ₀ =2π / λ - волновое число в свободном пространстве, а λ - рабочая длина волны в вакууме. В средней инфракрасной области предполагается, что диэлектрическая проницаемость воздуха и диоксида кремния, соответствующих суперобластям и подложкам, равна ε . _Воздух =1 и ε _SiO2 =3.9 соответственно [30]. В режиме без замедления, когда β » k ₀ , уравнение. (3) можно упростить до [31].

где β - постоянная распространения SPP на слое графена, а эффективный показатель преломления n _eff режима SPP можно получить из n _eff = β / к ₀ . σ _g - поверхностная проводимость графена, складывающаяся из вкладов внутризонной и межзонной, т.е. σ _g = σ _intra + σ _inter [29, 30]. Внутризонная проводимость σ _intra соответствующий процессу внутризонного электрон-фотонного рассеяния имеет вид

где μ _c - химический потенциал, связанный с электронной плотностью, e - заряд электрона, ω угловая частота плазмона, ℏ и k _B - приведенная постоянная Планка и постоянная Больцмана соответственно, T - температура, а τ представляет собой время релаксации импульса электрона из-за рассеяния носителей заряда. Для ℏω » k _B Т и | μ _c | » k _B Т , межзонная проводимость σ _inter соответствующие межзонным электронным переходам можно приблизительно выразить как

Результаты и обсуждение

Структуры энергетических зон предложенных плазмонных кристаллов получены с использованием коммерчески доступного программного обеспечения COMSOL Multiphysics на основе метода конечных элементов (МКЭ). На рис. 1a мы замечаем, что обе ромбические элементарные ячейки двух графеновых нанодисков (зеленый пунктирный ромб, определяемый векторами a _s1 и а _s2 ) и гексагональной элементарной ячейкой шести графеновых нанодисков (с векторами решетки a ₁ и а ₂ ) могут образовывать плазмонные кристаллы с сотовой решеткой. На рис. 1б представлены ЗБ для ромбической и гексагональной элементарных ячеек с неприводимыми зонами M _II . - Γ _II - К _II - М _II и M _I - Γ _Я - К _I - М _I соответственно. Отметим, что гексагональная элементарная ячейка в три раза больше, чем ромбическая примитивная. Следовательно, первая ЗБ ромбической примитивной элементарной ячейки в три раза больше, чем у гексагональной (синяя область на рис. 1б). Если взять примитивную ромбическую элементарную ячейку, этот плазмонный кристалл демонстрирует дисперсию конуса Дирака при K _II и K _II `точек в углах ЗБ, как показано на рис. 1в. На вставках к рис. 1в показаны распределения собственного электрического поля двух вырожденных состояний в точке Дирака. Подобно псевдоспинам в классических фотонных и акустических системах [17, 19, 20], чтобы имитировать аналог псевдоспинов в плазмонной системе, степень свободы должна быть увеличена до двух состояний. Таким образом, требуются четырехкратно вырожденные двойные конусы Дирака в плазмонной зонной структуре. Используя механизм складывания зон [18], конусы Дирака в K <sub>II</sub> и K <sub>II</sub> `точки складываются в двойной конус Дирака в Γ точка в центре BZ, если взять большую гексагональную элементарную ячейку (как показано на рис. 1d). На вставках к рис. 1г показаны четырехкратно вырожденные собственные состояния с дипольными и квадрупольными модами. Относительные параметры, которые мы используем: μ _c1 =0,3 эВ, μ _c2 =0,6 эВ и τ =1 пс, которые умеренно выбраны из предыдущих исследований для практического графена [32, 33].

Четырехкратно вырожденные двойные конусы Дирака, состоящие из двух диполярных и двух квадрупольных мод, связаны с двумя двухмерными неприводимыми представлениями C _6v точечная группа, а именно E ₁ режимы нечетной пространственной четности и E ₂ режимы четной пространственной четности. Следуя общепринятым обозначениям, широко принятым в квантовой механике [34], мы можем отнести эти режимы к p _x / p _y и d _x2-y2 / d _xy моды в соответствии с их собственным E _z распределения поля показаны на рис. 2. Затем, чтобы открыть нетривиальную топологическую запрещенную зону на Γ точки, мы вносим дальнейшие изменения (т.е. деформируем сотовую решетку a / R =3) на гексагональной элементарной ячейке, чтобы нарушить симметрию. При сжатии графеновых нанодисков до a / R =3,2, четырехкратно вырожденный двойной конус Дирака распадается на два двукратно вырожденных состояния и объемная запрещенная зона открывается от 62,1 до 63,5 ТГц, как показано на рис. 2а. E _z поля нижних диапазонов имеют пару дипольных мод, показывающих p _± символы, в то время как верхние полосы имеют пару квадрупольных мод, показывающих d _± символы вокруг Γ Это согласуется с классической фотонной теорией, согласно которой дипольные моды должны иметь более низкую частоту, чем квадрупольные моды более высокого порядка. Однако при расширении графеновых нанодисков до a происходит инверсия зон. / R =2,9, т.е. дипольные моды поднимаются над квадрупольными модами, что приводит к топологической нетривиальной ширине запрещенной зоны от 62,4 до 63,3 ТГц, как показано на рис. 2c. На рис. 2d, e показан процесс топологического перехода между p _± и d _± состояний, и плоские магнитные поля, связанные с p _± и d _± отмечены белыми стрелками. Угловые моменты волновой функции E _z поля p _± =( p _x ± i p _y ) / \ (\ sqrt {2} \) и d _± =( d _x2-y2 ± i d _xy ) / \ (\ sqrt {2} \) далее составляют псевдоспин в настоящих плазмонных кристаллах [17, 18].

Ленточные структуры GPC с a а / R =3,2, b а / R =3 и c а / R =2,9. г , e E _z распределения полей дипольных и квадрупольных мод p _± и d _± состояния в a и c соответственно. Белые стрелки показывают магнитное поле в плоскости, связанное с E . _z поле

Для дальнейшего изучения топологического свойства запрещенных зон, показанных на рис. 2a, c, оно обычно связано с эффективным гамильтоновым описанием и топологическими числами. Применяя теорию возмущений \ (\ overset {\ rightharpoonup} {k} \ cdot \ overset {\ rightharpoonup} {p} \), эффективный гамильтониан H _eff ( к ) вокруг Γ балл на основе [ p ₊ , d ₊ , p _- , d _- ] можно выразить как [17, 35].

где k _± = k _x ± i k _y , и A происходит из недиагональных элементов члена возмущения первого порядка \ ({M} _ {\ alpha \ beta} =\ left \ langle {\ Gamma} _ {\ alpha} \ left | \ overset {\ rightharpoonup} {k } \ cdot \ overset {\ rightharpoonup} {p} \ right | {\ Gamma} _ {\ beta} \ right \ rangle \) с α =1, 2 и β =3, 4. Эффективный гамильтониан H _eff ( к ) принимает форму, аналогичную модели Берневига-Хьюза-Жанга (BHZ) для системы квантовых ям CdTe / HgTe / CdTe [36], подразумевая топологическую запрещенную зону, когда имеет место инверсия зон. На основе гамильтониана, выраженного в формуле. Используя (5), мы можем оценить спиновые числа Черна топологических плазмонных кристаллов как [36].

Здесь M =( E _p - E _d ) / 2 - разность частот между E ₂ и E ₁ представления на Γ точка. Б определяется диагональными элементами возмущающего члена второго порядка и обычно отрицательна [19]. Таким образом, C _± =0 получается при нормальном порядке полос, как показано на рис. 2а. И мы делаем вывод, что открытая запрещенная зона тривиальна. Однако M становится положительным, когда происходит инверсия полосы. Следовательно, C _± =± 1 получается просто, а разрыв на рис. 2в нетривиален.

Перекрывая запрещенные зоны с различными топологиями (то есть топологически тривиальными и топологически нетривиальными), можно создавать краевые состояния, которые пространственно ограничены вокруг границы раздела между двумя плазмонными кристаллами. Здесь мы рассматриваем ленту из топологически нетривиального плазмонного кристалла (с зонной структурой, показанной на рис. 2c) с двумя краями, покрытыми двумя топологически тривиальными плазмонными кристаллами (с зонной структурой, показанной на рис. 2a) в одном и том же частотном окне. Две тривиальные области предотвращают утечку возможных краевых состояний в свободное пространство. На рис. 3а представлены рассчитанные спроецированные зонные структуры вдоль Γ Направление K для такой ленты, где объемная запрещенная зона перекрывается дополнительными топологическими краевыми состояниями, как показано двойными вырожденными красными кривыми. На рис. 3b показано распределение электрического поля, ограниченного границей раздела, построенного двумя разными кристаллами, соответствующими точкам A (с k _x =- 0,05π / a ) и B (с kx =0,05π / a ) отмечены на рис. 3а. Характеристики псевдо-увеличения и замедления вращения демонстрируются фазовыми вихрями, вращающимися против часовой стрелки и по часовой стрелке, как показано на правой панели рис. 3b.

а Спроектированная зонная структура для сверхъячейки, состоящей из 16 нетривиальных элементарных ячеек, покрытых 12 элементарными ячейками с обеих сторон. б Распределение электрического поля вокруг границы раздела тривиальных и нетривиальных плазмонных кристаллов в точках A и B, т.е. при k _x =- 0,05π / a и 0,05π / a соответственно

Зависящая от псевдоспина однонаправленная передача краевых состояний также демонстрируется в конечном 20 a × 18 а решетка, построенная из тривиальных и нетривиальных кристаллов. Как показано на рис. 4a, b, одностороннее распространение волны SPP в левом (правом) направлении при возбуждении источником псевдоспина вверх (вниз) S ₊ ( S _- ) против часовой (часовой) круговой поляризации плоского магнитного поля. Одной из наиболее отличительных черт топологических краевых состояний является то, что они устойчивы к возмущениям / несовершенствам. Чтобы проверить эту надежность, мы строим резкие изгибы, как показано на рис. 4c, где однонаправленная передача волны SPP возбуждается источником псевдоспина со спином вниз S _- . Волна SPP в конце концов исчезла после длительного пробега вдоль резких изгибов из-за внутренних потерь графенового материала. Чтобы дополнительно подтвердить эту топологическую передачу, мы также показываем распределение напряженности электрического поля, игнорируя собственные потери графена для сравнения. Как видно из рис. 4d, волна SPP следует по разработанному маршруту и ​​поддерживает одностороннее распространение с небольшим обратным рассеянием.

а Влево и b правые односторонние краевые состояния, возбуждаемые плоским магнитным полем с разностью фаз π / 2:\ ({S} _ {\ pm} ={H} _0 \ left (\ overset {\ rightharpoonup} {x} \ mp i \ overset {\ rightharpoonup} {y} \ right) \). c Топологические краевые состояния, перемещающиеся по крутым поворотам. г Распределение напряженности электрического поля при топологической односторонней передаче без учета внутренних потерь графенового материала

Выводы

Таким образом, мы систематически исследовали зонную топологию GPC, построенных с помощью периодически структурированных графеновых нанодисков. Используя механизм складывания зон, конусы Дирака в углу BZ складываются в двойной конус Дирака в центре BZ. Кроме того, топологические запрещенные зоны реализуются путем деформации GPC с сотовой решеткой. На основе эффективного гамильтониана, полученного с помощью теории возмущений \ (\ overset {\ rightharpoonup} {k} \ cdot \ overset {\ rightharpoonup} {p} \), вычисляются спиновые числа Черна. Псевдоспиновые характеристики, о чем свидетельствуют фазовые вихри, вращающиеся против часовой стрелки и по часовой стрелке, успешно используются для реализации однонаправленной передачи краевых состояний вдоль границы раздела, построенной из двух топологических тривиальных и нетривиальных плазмонных кристаллов. Разработанный GPC открывает новый путь к исследованию топологических явлений и может найти потенциальные приложения в области топологической плазмоники. Это также может послужить толчком к исследованию псевдоспиновой плазмоники и техники псевдоспинового мультиплексирования в нанофотонных интегральных схемах высокой плотности.

Сокращения

BHZ:

Бернвиг-Хьюз-Чжан

BZ:

Зона Бриллюэна

FEM:

Метод конечных элементов

GPC:

Плазмонный кристалл графена

QHE:

Квантовый эффект Холла

QSHE:

Квантовый спиновый эффект Холла

SPP:

Поверхностные плазмонные поляритоны