Решение систем уравнений: пошаговое руководство по методам подстановки и сложения

Что такое одновременные уравнения и системы уравнений?

Термины одновременные уравнения и системы уравнений описывают ситуации, когда две или более неизвестных переменных связаны между собой одинаковым числом уравнений.

Пример:

Для этой системы существует только одна комбинация значений x и y, удовлетворяющая обоим уравнениям.

Каждое уравнение по отдельности имеет бесконечное множество решений в виде пар (x, y), но вместе у них только одно общее решение. На графике это становится очевидным:

Каждая прямая представляет собой непрерывность точек — возможных пар решений для соответствующего уравнения. Единственная точка пересечения линий x + y = 24 и 2x - y = -6 имеет координаты x = 6, y = 18.

Графический метод, однако, неэффективен для точного нахождения решений, особенно для систем с тремя и более переменными. В трёхмерном случае решение — это точка пересечения трёх плоскостей, что трудно визуализировать.

Метод подстановки

Существует несколько алгебраических техник решения систем. Пожалуй, самый понятный — метод подстановки.

Рассмотрим наш пример с двумя переменными:

В методе подстановки мы выражаем одну переменную через другую из одного уравнения:

Затем подставляем это выражение вместо соответствующей переменной во второе уравнение:

Получаем уравнение с одной неизвестной (x) и решаем его обычными алгебраическими методами:

Зная x = 6, подставляем это значение в любое из исходных уравнений (или в полученное выражение для y), чтобы найти y:

Для систем с тремя и более переменными принцип тот же, но объём работы больше. Чтобы решить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, нужно минимум три уравнения. Пример:

Первое уравнение имеет простейшие коэффициенты (1, -1, 1 для x, y, z), поэтому удобно выразить из него x через y и z:

Подставляем это выражение в два других уравнения:

Упрощаем:

Теперь система сократилась до двух уравнений с двумя неизвестными (4y - z = 4 и -3y + 4z = 36). Снова применяем подстановку: выражаем z через y из первого:

Подставляем во второе:

Находим y, затем z:

Наконец, подставляем y и z в выражение для x:

Получаем решение: x = 2, y = 4, z = 12, удовлетворяющее всем трём уравнениям.

Метод сложения (элементарных преобразований)

Хотя метод подстановки интуитивно понятен, существуют и другие подходы. Один из них — метод сложения, при котором уравнения складывают друг с другом для сокращения переменных.

Вернёмся к нашей двухпеременной системе:

Основное правило алгебры: к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение, не нарушая равенства. Следовательно, можно сложить соответствующие части двух уравнений, получив новое уравнение.

Сложив левые части (x + y и 2x - y) и правые (24 и -6), получаем:

Члены с y сократились, осталось уравнение с одной неизвестной x. Решаем его:

Подставляя x = 6 в одно из исходных уравнений, легко находим y.

Но что, если прямое сложение не сокращает переменные? Рассмотрим другую систему:

Сложение даёт уравнение всё ещё с двумя неизвестными:

Однако, если умножить второе уравнение на -2, член с y станет -2y и сократится при сложении с первым уравнением:

Складываем с первым уравнением:

Решаем для x:

Подставляем x = 3 в исходное уравнение, находим y:

Для систем с тремя переменными метод сложения применяется аналогично: сначала сокращают систему до двух уравнений с двумя неизвестными, затем до одного. Используем тот же трёхпеременный пример:

Первое уравнение имеет коэффициенты 1 для каждой переменной, удобно для исключения. Чтобы убрать 3x из второго уравнения, умножаем первое на -3 и складываем со вторым:

Аналогично исключаем -5x из третьего, умножая первое на 5:

Получаем два уравнения с y и z:

Умножаем первое на 4 и складываем со вторым, чтобы исключить z:

Отсюда 13y = 52 → y = 4. Подставляем обратно, находим z = 12, затем x = 2. Итоговое решение: x = 2, y = 4, z = 12.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист «Системы уравнений для анализа схем»