Малоугловое рассеяние раскрывает структуру детерминированных наномасштабных жирных фракталов

Аннотация

Малоугловое рассеяние (нейтронов, рентгена или света; МУР) рассматривается для описания структурных характеристик детерминированных наномасштабных жирных фракталов. Показано, что в случае полидисперсной фрактальной системы с равной вероятностью любой ориентации можно получить фрактальные размерности и коэффициенты масштабирования на каждом структурном уровне. Это согласуется с общими результатами, выведенными в контексте анализа МУР системы случайно ориентированных, не взаимодействующих нано-/микро-фракталов. Применяем результаты к двумерному жирному фракталу Кантора, вычисляя аналитические выражения для интенсивностей рассеяния и структурных факторов. Объясняем, как структурные свойства можно вычислить из экспериментальных данных и показываем их корреляцию с вариацией коэффициента масштабирования с номером итерации. Модель может использоваться для интерпретации экспериментальных данных МУР в рамках жирных фракталов и может раскрывать структурные свойства материалов, характеризующихся регулярным законом изменения фрактальных размерностей. Она описывает последовательности степенных затуханий с произвольно убывающими значениями показателей рассеяния, перемежаемых областями постоянной интенсивности.

Введение

Многие иерархические структуры, генерируемые на нано- и микromaсштабах, имеют геометрические характеристики, инвариантные относительно масштабных дилатаций, демонстрируя самоподобие и фрактальные свойства. Хотя недавние достижения в материаловедении и нанотехнологиях позволяют получать различные искусственные детерминированные нано-/микро-фракталы с точным самоподобием, подавляющее большинство природных процессов порождают случайные, статистически самоподобные фракталы. Хорошая аппроксимация в структурных исследованиях природных фрактальных образований может быть получена при recours к детерминированным фрактальным моделям с той же фрактальной размерностью. Этот подход успешно использовался для показа, что перенос через случайные фрактальные поверхности очень близок к ответу детерминированных модельных геометрий. Введение полидисперсности в алгоритм построения детерминированного фрактала позволяет получить аналогичные интенсивности МУР, как для случайных фракталов. Кроме того, «детерминированный» подход вычислительно эффективнее, позволяя аналитическое описание различных свойств: фрактальной формы, структурных факторов, радиуса гирации.

Один из самых надежных методов определения структурных свойств детерминированных и случайных фракталов — использование волновой дифракции в контексте малоуглового рассеяния на нано-/микроструктурированных материалах с нейтронами или электромагнитными волнами (рентген, свет). Поэтому одной из фундаментальных задач теоретического описания, связанного с экспериментальными определениями в этой области, является раскрытие связи между структурой фракталов и их дифракционным спектром или распределением интенсивности рассеяния в зависимости от волнового вектора рассеяния. Много экспериментальных и теоретических исследований проводилось в этом направлении.

Используя стандартные теоретические вычисления и интерполяцию, параметр, определяемый из таких экспериментальных измерений, — массовая фрактальная размерность D_m (см. Приложение 1), с D_m < d, или поверхностная фрактальная размерность D_s, с d-1 < D_s < d. Обозначим через d евклидову размерность, в которую вложен фрактал. Массовая фрактальная размерность описывает способ, которым масса M(r) меняется при вложении в диск радиуса r. Полученное соотношение «масса-радиус» M(r) ∝ r^{D_m} ведет к поведению интенсивности рассеяния I(q) ∝ q^{-D_m}. Очевидно, D_m можно отождествить с показателем степенной зависимости интенсивности рассеяния от волнового вектора q. Чем выше D_m, тем более компактна структура. Аналогично для поверхностных фракталов: поверхностное распределение S(r) ∝ r^{2-D_s}, и I(q) ∝ q^{-(2d-D_s)}. В трехмерном евклидовом пространстве D_s стремится к минимуму 2 при почти идеально гладкой поверхности и к максимуму 3, если она настолько сгорблена, что почти заполняет пространство.

Многие экспериментальные дифракционные интенсивности от химически синтезированных и биологических систем характеризуются на двойном логарифмическом масштабе последовательностью степенных затуханий, перемежаемых областями постоянной интенсивности. Это поведение наблюдается для некоторых полимерных гелей, гликозидгидролазы для субстрата целлобиозы, полиэлектролитных комплексных коацерватов, нанопористого угля. Классическая модель Бокажа может дать базовую структурную информацию (массовую или поверхностную фрактальную размерность и общий размер каждого структурного уровня), но нужна более полная характеристика из-за большого числа конфигураций, соответствующих фиксированному значению фрактальной размерности. Эта проблема частично решена Черным и др. в контексте моделей МУР. Показано, что для детерминированных массовых фракталов с единым масштабом можно получить дополнительную информацию: число итераций фрактала, число базовых составляющих единиц, коэффициент масштабирования. Этот подход успешно использован для разработки новых моделей жирных фракталов, если в распределении рассеяния присутствуют последовательности степенных затуханий. Применимо к структурам, где общий размер базовых составляющих единиц того же порядка, что расстояния между ними.

Теоретическая модель, представленная в статье, комбинирует предыдущие модели для расширения их применимости. Она описывает последовательности степенных затуханий с произвольно убывающими значениями показателей рассеяния, перемежаемых областями постоянной интенсивности. Модель также дает более детальную информацию об каждом структурном уровне нано-/микро-фрактала. Для этого рассматриваем жирный фрактал, представленный двумерным детерминированным массовым фракталом с коэффициентом масштабирования, зависящим от номера итерации, но с неисчезающей площадью поверхности в пределе большого числа итераций, то есть с положительной мерой Лебега. Выводим аналитические выражения фрактальной формы и структурных факторов и показываем, как определить фрактальные размерности и коэффициенты масштабирования на каждом структурном уровне.

Теоретический фон

Рассматриваем массив одинаково ориентированных, идентичных дифракционных апертур Σ, содержащих N прозрачных областей, помеченных j. Суммирование амплитуд от каждой апертуры дает известное частотное распределение амплитуды дифракции одной апертуры (уравнение (37) в Приложении 2):

A(p,s) = Σ_{j=1}^N ∬ T(x,y) e^{-2iπ(p(x+x_j)+s(y+y_j))} dx dy

Координаты точки в локальной системе j-й апертуры (x_j, y_j), T(x,y) — индивидуальная функция пропускания каждой прозрачной области. Можно поменять суммирование и интегрирование местами, так как апертуры описаны одной функцией распределения:

A(p,s) = ∬ T(x,y) e^{-2iπ(px+sy)} dx dy × Σ_{j=1}^N e^{ipx_j} e^{isy_j}

Интегральный множитель — Фурье-образ функции распределения каждой апертуры. Этот амплитудный множитель модулируется фактором, содержащим суммирование, представляющим Фурье-образ дельта-функций Дирака вида A_δ = Σ (x-x_j)(y-y_j). Таким образом, пространственное распределение апертур внутри массива также учитывается. Уравнение переписывается в виде теоремы об массиве:

A(p,s) = F{T(x,y)} F{A_δ}

Интенсивность дифракционного образа в фурье-плоскости:

I(p,s) ≡ |A(p,s)|² = |F{T(x,y)}|² |F{A_δ}|²

Первый множитель — интенсивность рассеяния одной дырки, второй — способ распределения дырки в апертуре Σ. Эти величины известны как форма-фактор F(p,q) и структурный фактор S(p,q). Поэтому результаты будут выражены через:

I(p,q) ≡ F(p,s) S(p,s)

Модель жирного фрактала и метод

Процедура построения тонкого (регулярного) фрактала Кантора хорошо известна. Приводим основные шаги. Подход сверху вниз. Начальный квадрат (или другая евклидова форма) со стороной l_0 (при m=0), центр совпадает с началом координат, стороны параллельны осям. Любая точка в квадрате: -l_0/2 ≤ x ≤ l_0/2, -l_0/2 ≤ y ≤ l_0/2. На первой итерации (m=1) квадрат делится на четыре других квадрата со стороной β_s^{(1)} l_0. Обозначаем β_s^{(1)} ≡ (1-γ_1)/2, с 0 < β_s^{(1)} < 1/2 — коэффициент масштабирования первой итерации, γ_1 — доля удаленной длины (рис. 1a,b для m=1). Число в скобках (⋯) как верхний индекс обозначает номер итерации, не степень. Позиции четырех квадратов заданы векторами a_j = {±β_t^{(1)}l_0, ±β_t^{(1)}l_0} со всеми комбинациями знаков, где β_t^{(1)} = (1-β_s^{(1)})/2 для упрощения. Квадрат выбран за простоту вычислений. Другая форма (круг) влияет только на Породовскую область форма-фактора, что выходит за рамки работы.

Первые два шага также применяются к классическому жирному фракталу для m=0 и m=1. Поэтому до этого структура совпадает. Для получения жирного фрактала модифицируют алгоритм на итерации m=1, выбирая другой коэффициент масштабирования на m=2: β_s^{(2)} ≡ (1-γ_2)/2. Применяя алгоритм в пределе большого числа итераций, восстанавливают классический жирный фрактал. Регулярная версия фрактала восстанавливается, когда коэффициенты масштабирования на каждой итерации равны: β_s^{(1)} = β_s^{(2)} = ... = β_s^{(m)}.

Для получения постоянного плато между двумя степенными затуханиями в поведении интенсивности МУР нужно учитывать, что расстояния между рассеивающими единицами намного больше их общего размера. Такой подход впервые использовали в контексте моделей поверхностных фракталов. Вводят отношение f общего расстояния между рассеивающими единицами l_in к их общему размеру l_0:

f ≡ l_in / l_0

Для экспериментов с плато постоянной интенсивности между фрактальными областями нужно выбирать f ≫ 1. Для поверхностных фракталов увеличение f улучшает согласование между общей интенсивностью МУР и приближением независимых рассеивающих единиц.

Используя вышеизложенное, описывают различия между регулярными и жирными фракталами. Влияние фактора f можно визуализировать. Рис. 1 графически иллюстрирует сравнение с диском радиуса r_0 ≡ l_0/2 = l_in/(2f) как базовой формой. Результаты первых двух итераций в каждой строке рис. 1 показывают структуры регулярного фрактала (красные диски) и жирного фрактала (черные диски), которые могут полностью накладываться (оранжевые диски). В строке рис. 1a f=1 — классическое построение. Строка рис. 1b: f=2. На итерациях m=0 и m=1 структуры регулярного и жирного множеств Кантора идентичны и полностью накладываются — ожидаемо из-за общего коэффициента масштабирования. Однако, начиная с m=2, радиусы дисков жирного фрактала больше, так как его β_s^{(2)} больше по определению. На последнем изображении рис. 2b размер дисков намного меньше, чем в рис. 2a, из-за неединичного f.

Для получения самих степенных законов нужно обобщить классическую модель жирного фрактала. Это делается путем рассмотрения того, что изменения коэффициента масштабирования происходят не каждую итерацию, а каждую вторую, третью, ..., или вообще каждую h-ю итерацию. Доля удаленной длины на m-й итерации:

γ_m = c^{p_m}, с 0 < c < 1.

Функция p_m определяется как:

p_m ≡ ⌊1 + (m-1)/h⌋,

для любого положительного целого m, с h = 1,...,m, где ⌊⋯⌋ — функция целая часть. Таким образом, коэффициент масштабирования m-й итерации:

β_s^{(m)} = (1-γ_m)/2.

Теперь ясно: функция p_m держит коэффициент масштабирования постоянным для h итераций (h < m).

Компоненты позиционных векторов каждого квадрата:

β_t^{(m)} = β_s^{(m)}/2 + γ_m/2,

длина стороны каждого квадрата:

l_m = l_0/2^m ∏_{i=1}^m (1-γ_i).

Фактор f используется в формуле l_0 для учета того, что для итераций между (h+1)-й и m-й размер квадратов уменьшается относительно расстояний между ними:

l_0 = { l_in, для итераций ≤ h; l_in/f, для итераций > h }

Число квадратов на каждой итерации: N_m = 4^m.

Таким образом, на каждом масштабе, рассматриваемом как итерация с постоянным коэффициентом масштабирования, имеем разную фрактальную размерность:

D_m = -2 ln 2 / ln β_s^{(m)}.

В пределе большого числа итераций фрактальная размерность:

D ≡ lim_{m→∞} ln N_m / ln(l_0/l_m) = 2,

ожидаемое значение для двумерного жирного фрактала. Если a_i — относительная площадь, удаляемая на i-й итерации, то ∏(1-a_i) > 0 при ∑a_i < ∞, и модель удовлетворяет определению и характеристикам жирных фракталов.

Результаты и обсуждение

По принципу Бабине, на m-й итерации апертуры в решетке — оставшиеся квадраты фрактала, а удаленные части становятся непрозрачными для излучения.

Моноодисперсная интенсивность рассеяния и структурный фактор

Для получения аналитического выражения интенсивности рассеяния жирного фрактала Кантора начинаем с рекуррентного соотношения проницаемости решетки для произвольной итерации в 1D случае. При m=0:

T_0(l_0, x) ≡ rect(l_0, x) = { 1, |x| < l_0/2; 1/2, |x| = l_0/2; 0, иначе }.

Учитывая алгоритм построения фрактала, проницаемость после первой итерации:

T_1(l_1, x) = T_0(l_1, x) * δ((x-l_0β_t^{(1)})/l_1) + T_0(l_1, x) * δ((x+l_0β_t^{(1)})/l_1)

где δ(x-a) — одномерная дельта-функция Дирака в x=a. Символ * — свертка. На m-й итерации:

T_m(l_m, x) = T_{m-1}(l_m, x) * δ((x-u_m)/l_m) + T_{m-1}(l_m, x, y) * δ((x+u_m)/l_m)

где u_m = l_0 β_t^{(m)} ∏_{j=1}^{m-1} β_s^{(j)}. Фурье-преобразование дает рассеянную амплитуду на m-й итерации:

A_m(p) = 2^m sin(π p l_m)/(π p l_m) ∏_{i=1}^m cos(2π p u_i).

2D жирный фрактал — прямое произведение двух 1D жирных фракталов, его Фурье-образ — произведение двух 1D Фурье-образов:

A_m(p,s) ≡ A_m(p) A_m(s),

следовательно,

A_m(p,s) = N_m sin(π p l_m)/(π p l_m) sin(π s l_m)/(π s l_m) × ∏_{i=1}^m cos(2π p u_i) cos(2π s u_i),

интенсивность рассеяния:

I_m(p,s) = (sin(π p l_m)/(π p l_m) sin(π s l_m)/(π s l_m))² × N_m² (∏_{i=1}^m cos(2π p u_i) cos(2π s u_i))².

Первый множитель — интенсивность дифракции форма-фактора:

F_m(p,s) = (sin(π p l_m)/(π p l_m) sin(π s l_m)/(π s l_m))²,

соответствует интенсивности рассеяния одного квадрата со стороной l_m. Второй множитель — интенсивность дифракции структурного фактора:

S_m(p,s) = N_m² (∏_{i=1}^m cos(2π p u_i) cos(2π s u_i))²,

описывает распределение квадратов. Общая интенсивность — произведение F_m и S_m.

Степенное затухание интенсивности (уравнение (22)) получается после усреднения по всем ориентациям. Рассматривая равную вероятность любой ориентации, усреднение для 2D фракталов вычисляется интегрированием по всем направлениям вектора рассеяния q = (p,s):

⟨f(p,s)⟩ = 1/(2π) ∫_0^{2π} f(q,φ) dφ,

где p = q cos φ, s = q sin φ. Таким образом, интенсивность рассеяния I(q) получается как функция модуля импульсного переноса q ≡ |q|.

По определению структурного фактора S_m(0) = N_m², где N_m — число квадратов (уравнение (13)), можно применить стандартную нормализацию S_m(0) = 1.

Вычисленные результаты для моноодисперсной интенсивности I_m(q) и структурного фактора S_m(q) при m=6 показаны на рис. 2 для классического жирного фрактала (f=1, рис. 2a) и расширенной модели жирного фрактала (f=10, рис. 2b). Для рис. 2b приняли h=3 — коэффициент масштабирования β_s^{(1)} первых трех итераций постоянный, затем другое постоянное значение β_s^{(2)} для следующих трех. Как ожидалось, в обоих случаях (f=1 и f=10) различия между интенсивностью рассеяния и структурным фактором наблюдаются при q ≳ 1/l_m. В этой области интенсивность имеет степенное затухание I(q) ∝ q^{-3}. Структурный фактор имеет асимптотическое значение, стремящееся к 1/N_m, показанное горизонтальной линией на рис. 2a или нижней горизонтальной линией на рис. 2b.

На рис. 2a видна последовательность двух обобщенных степенных затуханий, идентифицируемых как суперпозиция максимумов и минимумов над простым степенным затуханием. На рис. 2b четко выделяется область примерно постоянной интенсивности в области 20 ≲ q l_0 ≲ 100, обрамленная двумя последовательными обобщенными степенными затуханиями. Это вызвано уменьшением размера квадратов на порядок (f=10) по сравнению с расстояниями между ними. Эта область, наблюдаемая вокруг верхней горизонтальной линии на рис. 2b, имеет асимптоту 1/N_3, такую же, как структурный фактор классического жирного фрактала, демонстрируя поведение, похожее на рассмотрение только первых трех итераций.

Кроме того, на рис. 2 видно, что число минимумов на каждом масштабе совпадает с числом итераций с постоянным коэффициентом масштабирования. Минимумы возникают, когда излучение, проходящее через разные квадраты внутри фрактала, интерферирует и находится в противофазе, поэтому наиболее часто встречающиеся расстояния между центрами квадратов (2u_m) равны π/q. Приблизительные позиции минимумов:

q_i ≃ π/(2 u_i), i=1,...,m

показаны на рис. 2 вертикальными линиями. Для первых шести итераций наблюдается довольно хорошее согласование между позициями, вычисленными по уравнению (26), и найденными в интенсивности рассеяния или структурном факторе. Эта аппроксимация может быть менее точной для более высоких итераций, когда номер итерации увеличивается выше определенного значения, так как в этих случаях все больше расстояний становятся сопоставимы с наиболее часто встречающимся. Тем не менее, эта аппроксимация должна хорошо работать на практике, где трудно ожидать различить более четырех или пяти таких минимумов.

Для каждого индивидуального масштаба в заданном диапазоне 1/(2u_i) ≲ q ≲ 1/(2u_{i+1}) дифракционная картина производится интерференцией только i-й фрактальной итерации. Это можно использовать для показа того, что в этом интервале функции I_m(q) q^D и S_m(q) q^D лог-периодичны, где D — фрактальная размерность, соответствующая данному масштабу. В частности, для результатов на рис. 2 и 3, функции I_m(q) q^{-1.1} и S_m(q) q^{-1.1} лог-периодичны с периодом 1/β_s^{(1)} для первых трех итераций, а I_m(q) q^{-1.51} и S_m(q) q^{-1.51} — лог-периодичны с 1/β_s^{(2)} для второй группы трех итераций.

Аналогично детерминированным массовым фракталам, уравнение (26) можно использовать для получения нескольких структурных параметров жирных фракталов. Во-первых, общее число минимумов совпадает с общим числом фрактальных итераций. Рис. 2 показывает, что фрактал состоит из трех итераций с β_s^{(1)} и трех с β_s^{(2)}. Во-вторых, из периодичности минимумов (или периодичности I_m(q) q^D и S_m(q) q^D) можно восстановить коэффициенты масштабирования. На рис. 2b β_s^{(1)} получается из периодичности минимумов при q l_0 ≃ 7, 25, 90, а β_s^{(2)} — из периодичности при q l_0 ≃ 400, 1000, 2500. Длина промежуточного плато между фрактальными областями может служить индикатором отношения f расстояний между рассеивающими единицами и их общего размера. На рис. 2b этот диапазон соответствует 13 ≲ q l_0 ≲ 130.

Полидисперсная интенсивность рассеяния и структурный фактор

Теперь считаем, что размеры решетки подчиняются функции распределения D_N(l_0), определенной так, что D_N(l_0) dl_0 дает вероятность размера фрактальной решетки в интервале (l_0, l_0+dl_0). Этот шаг вводит полидисперсность в модель жирного фрактала. Пример: логнормальное распределение:

D_N(l_0) = 1/(σ l_0 (2π)^{1/2}) e^{-(log(l_0/μ)+σ²/2)²/(2σ²)},

с относительной дисперсией σ_r = (⟨l_0²⟩_D - μ²)^{1/2}/μ, средним μ = ⟨l_0⟩_D, и σ = (log(1+σ_r²))^{1/2}. Используя уравнения (21) и (27) получают полидисперсную интенсивность, усредненную по функции распределения. Структурный фактор считается аналогично, но без члена площади на m-й итерации.

Вычисленные результаты для полидисперсного (красные кривые) и моноодисперсного (черные кривые) случаев для интенсивностей рассеяния (a) и структурных факторов (b) на рис. 3 и 4. Разница — значение f. На рис. 3 классическое построение жирного фрактала, f=1. Учет меньших размеров базовых единиц ведет к f=10 на рис. 4. Полидисперсность рассчитана для σ_r = 0,4. Видно, что осцилляции сглаживаются, общая амплитуда уменьшается, кривые рассеяния становятся гладче. Однако для данного σ_r позиции главных минимумов и максимумов все еще наблюдаемы.

Более вообще, для малых σ_r (достаточно малых, чтобы осцилляции были заметны) оценка уравнения (26) все еще применима. Следовательно, можно восстановить число фрактальных итераций, коэффициент масштабирования на каждом структурном уровне, отношение расстояний между рассеивающими единицами и их общий размер. Когда σ_r увеличивается до значений, при которых осцилляции полностью сглаживаются, кривые рассеяния становятся простыми степенными затуханиями. Поскольку использовали узкое колоколообразное распределение, показатель степенного затухания сохраняется. Более того, для каждого степенного затухания он дает фрактальную размерность данного структурного уровня. Это в хорошем согласии с теоретической оценкой уравнения (14). Это также согласуется с экспериментальными установками, где почти каждая кривая рассеяния имеет определенную степень полидисперсности. Таким образом, разработанная модель жирного фрактала с перемежающейся областью постоянной интенсивности восстанавливает фрактальную размерность на каждом структурном уровне из полидисперсных экспериментальных данных.

Заключения

В статье предложена теоретическая модель, обобщающая стандартную для наномасштабных жирных фракталов. Характеризуется тем, что начальный размер элементарной единицы принимается намного меньше общего размера фрактала, и, следовательно, намного меньше расстояний между элементарными единицами внутри фрактала. Рис. 1b иллюстрирует базовую модель при частном 1/2 между этими величинами.

На основе модели получены аналитические формулы для интенсивности рассеяния (уравнение (22)) и структурного фактора (уравнение (24)). Усреднение по всем возможным ориентациям по уравнению (25). Эти усредненные величины на двойном логарифмическом масштабе характеризуются наличием двух структурных уровней, а значит двумя степенными затуханиями, перемежаемыми областью постоянной интенсивности — плато, как видно на рис. 2b и 4. Это плато совпадает с асимптотической областью структурного фактора жирного фрактала, как если бы мы учитывали только вклад первого структурного уровня, когда коэффициент масштабирования был постоянным. Асимптотические значения плато можно использовать для получения числа рассеивающих единиц для каждого структурного уровня. Длина плато контролируется значением f. Степенные затухания, обрамляющие плато, получены за счет постоянства коэффициентов масштабирования для конечного числа итераций (в примере — для трех из шести). Наклон второго степенного затухания выше, так как значения коэффициентов масштабирования по определению увеличиваются на каждом структурном уровне, что подтверждается численными вычислениями на рис. 2, 3, 4.

Также описан полидисперсный случай модели жирного фрактала. Размеры составляющих единиц подчиняются, например, логнормальному распределению. Получены сглаженные кривые интенсивностей рассеяния и структурных факторов. Моноодисперсные кривые рассеяния, а также полидисперсные с достаточно малыми значениями относительной дисперсии, позволяют получить коэффициенты масштабирования на каждом структурном уровне, а показатели степенного затухания в полидисперсной кривой дают фрактальные размерности на каждом структурном уровне. Выбранное значение 0,4 для относительной дисперсии иллюстрирует случай, когда еще можно наблюдать некоторые минимумы в характеристиках рассеяния, и кривые сохраняют форму, близкую к степенным затуханиям.

Результаты, полученные в рамках предложенной модели, могут использоваться для раскрытия структурных свойств фрактальных материалов, характеризующихся регулярным законом изменения фрактальных размерностей. Предложенная модель также очень универсальна, так как может быть расширена для включения других особенностей: разных форм элементарной единицы, более двух структурных уровней, или адаптирована для работы в других евклидовых размерностях. Эти результаты полезны для детального описания экспериментальных дифракционных данных в контексте малоуглового рассеяния, полученных от различных сложных нано- и микромасштабных иерархических структур.

Приложение

Фрактальная размерность

Массовая и поверхностная фрактальные размерности — вероятно, самые важные величины, характеризующие фрактал. Будем иметь дело только с детерминированными массовыми фракталами и называть массовую фрактальную размерность просто фрактальной размерностью (D_m).

В общих терминах соотношение «масса-радиус» можно переписать как M(r) = A(r) r^{D_m}, где коррекция масштабного закона A(r) стремится к константе при r→∞.

Если априори известно, что структура является фракталом в пределе большого числа, фрактальную размерность можно найти прямо из первой итерации. Для иллюстрации рассмотрим фрактал размера l_0, состоящий из k элементарных единиц на первой итерации, каждая размера β_s l_0, где β_s — коэффициент масштабирования. Поскольку соотношение «масса-радиус» эквивалентно соотношению масштабной инвариантности M(β_s l_0) = β_s^{D_m} M(l_0), можно записать M(l_0) = k M(β_s l_0). Используя уравнение для массы, получаем прямой метод вычисления фрактальной размерности: k β_s^{D_m} = 1.

Дифракция Фраунгофера и теорема об массиве

Рассмотрим двумерную дифракционную апертуру Σ в плоскости (x,y), освещенную в положительном направлении z. В наблюдательной плоскости (u,v), параллельной Σ, комплекснозначенная амплитуда дифракционного образа, вычисленная в рамках скалярной теории дифракции по принципу Гюйгенса-Френеля:

A(u,v) = z/(iλ) ∬_Σ A(x,y) e^{ikr}/r² dx dy

где r = √(z²+(u-x)²+(v-y)²) — расстояние между произвольными точками на плоскости, содержащей Σ, и наблюдательной плоскостью. Для применимости модели Фраунгофера это расстояние должно быть намного больше длины волны λ.

Биномиальное раскрытие квадратного корня и сохранение первых двух членов дает: r ≈ z(1 + (u-x)²/(2z²) + (v-y)²/(2z²)). Это приближение ведет к интегралу Френеля. Дополнительно, при условии z ≫ k Max(x²+y²)/2, экспонента ≈ 1. Переписывая, приближение Фраунгофера:

A(u,v) = P(u,v) ∬ A(x,y) e^{-i 2π/λz (ux+vy)} dx dy

где P(u,v) = e^{ikz} e^{i k/2z (u²+v²)}/(iλz), k=2π/λ. Обозначая пространственные частоты p=u/(λz), s=v/(λz) и игнорируя мультипликативный фазовый множитель P(u,v), амплитуда становится просто Фурье-образом распределения апертуры Σ. Считая, что освещение монохроматическим плоским волновым фронтом единичной амплитуды при нормальном падении, и поле на апертуре равно функции пропускания T(x,y), получаем частотное распределение амплитуды дифракции в фазовом пространстве:

A(p,s) = ∬ T(x,y) e^{-2iπ(px+sy)} dx dy.