Теорема Миллмана. Анализ цепей переменного и постоянного тока. Примеры

Теорема Миллмана для цепей переменного и постоянного тока — примеры пошагового решения

Теорема Миллмана

Теорема Миллмана используется при анализе цепей, когда она имеет только параллельные ответвления. Поэтому эта теорема полезна для расчета напряжения в конце цепи. Теорема Миллмана применима только к схеме, содержащей параллельную сеть.

Теорема Миллмана представляет собой комбинацию теоремы Тевенина. и теорема Нортона . Иногда эту теорему также называют теоремой о параллельном генераторе. . Эта теорема предложена профессором электротехники Джейкобом Миллманом. . И в честь его имени эта теорема названа теоремой Миллмана.

Теорема Миллмана утверждает, что

То есть мы можем найти напряжение на параллельных ветвях данной сети. Эта теорема уменьшает сложность сети, когда несколько источников подключены, как показано на рисунке ниже.

Согласно теореме Миллмана; напряжение на нагрузке;

• Публикация по теме:Теорема Тевенина. Пошаговое руководство с примером решения

Математическое уравнение

Как показано на рисунке выше, схема, имеющая n-количество источников напряжения (E₁ , Е₂ , Е₃ , …, Е_n ). А внутреннее сопротивление источников R₁ , R₂ , R₃ , …, R_n соответственно. Согласно теореме Миллмана любую цепь можно заменить приведенной ниже сетью. На следующем рисунке показана эквивалентная схема Миллмана.

Теперь нам нужно найти значение источника напряжения (E) и эквивалентное сопротивление (R). Приведенная выше схема аналогична эквивалентной схеме Тевенина. Следовательно, мы можем сказать, что источник напряжения (E) совпадает с эквивалентным напряжением Тевенина (V_TH ), а эквивалентное сопротивление равно эквивалентному сопротивлению Thevenin (R_TH ).

Мы находим эквивалентную схему Нортона, чтобы сделать простой расчет. Для этого сделаем исходное преобразование. И преобразовать все источники напряжения в источники тока.

У нас есть внутреннее сопротивление, подключенное последовательно с источником напряжения. После преобразования источника источник напряжения преобразуется в источник тока, а внутреннее сопротивление подключается параллельно источнику тока. Следовательно, приведенная выше схема преобразуется, как показано на рисунке ниже.

Согласно закону Ома, значение источников тока будет равно E₁ /R₁ , Е₂ /R₂ , Е₃ /R₃ , …, Е_n /R_н . Теперь, чтобы найти эквивалентный ток Нортона (I_N ), нам нужно замкнуть клеммы нагрузки. И найдите текущие проходы через эту ветвь.

В узле A₁ , ток разделяется на два пути. Один путь через сопротивление R₁ а второй путь - от короткозамкнутой ветки. Как известно, ток всегда течет по пути с низким сопротивлением. Следовательно, в этом состоянии весь ток проходит через короткозамкнутую ветвь. А ток, проходящий через сопротивление, равен нулю.

То же самое происходит для всех источников в узле A₂ , А₃ , …, А_n . И ток, проходящий через все резисторы, равен нулю.

Теперь в узле A₂ , ток, поступающий из узла A₁ добавлен. Точно так же в узле A3 ток, поступающий из узла A₂ добавлен. Следовательно, в узле A_n , добавлен ток со всех узлов. Общий ток представляет собой сумму всех токов и известен как ток Нортона (I_N ).

Итак, мы нашли эквивалентный ток Norton. Теперь нам нужно найти эквивалентное сопротивление Нортона. А для этого нам нужно удалить все источники энергии, присутствующие в цепи, разомкнув цепь источника тока и замкнув накоротко источник напряжения.

На приведенном выше рисунке у нас есть только текущий источник. Мы удалим эти источники тока путем размыкания цепи. И нам нужно снять нагрузку, чтобы рассчитать эквивалентное сопротивление. Таким образом, оставшаяся схема выглядит так, как показано на рисунке ниже.

Как показано на рисунке выше, мы видим, что все резисторы подключены параллельно. И эта параллельная комбинация равна эквивалентному сопротивлению.

R_eq =R_Н =Р ₁ || Р ₂ || Р ₃ … || R_н

Теперь поместите эти значения в эквивалентную схему Norton, как показано на рисунке ниже.

Если мы преобразуем эту эквивалентную схему Нортона в эквивалентную схему Тевенина, мы можем рассчитать значение E и R по току Нортона I_N и Norton Resistance R_N .

Согласно закону Ома;

E =I_N х R_Н

Давайте составим приведенное выше уравнение в общем виде для n-количества ветвей.

Итак, у нас есть значение источника напряжения. А значение эквивалентного сопротивления равно эквивалентному сопротивлению Нортона. Следовательно, мы можем получить эквивалентную схему Миллмана (рис. 2).

• Публикация по теме:Теорема Нортона. Пошаговое руководство с примером решения

Пошаговые инструкции по теореме Миллмана

Шаг 1 Теорема Миллимана применима только к сети или цепи, имеющей большее количество параллельных ветвей. Итак, мы предполагаем, что нам нужно решить схему с несколькими параллельными ветвями, содержащими источник напряжения, соединенный последовательно с внутренним сопротивлением.

Шаг 2 Составьте список внутреннего сопротивления или сопротивления, соединенного последовательно, и источников напряжения.

Шаг 3 Найдите эквивалентное сопротивление (R) на клеммах нагрузки при коротком замыкании источников напряжения.

Шаг 4 Примените теорему Миллмана и найдите значение напряжения (E) на клеммах нагрузки. Для этого используйте уравнение-1. Это напряжение представляет собой напряжение на нагрузке.

Шаг 5 Поместите значения R и E в эквивалентную схему Миллмана (рис. 2).

Шаг 6 Примените KVL к петле, чтобы найти ток, проходящий через нагрузку.

• Публикация по теме: Теорема о суперпозиции — анализ цепей с решенным примером

Анализ цепи постоянного тока с использованием теоремы Миллмана

Пример №1

Определите ток и напряжение на клемме нагрузки, используя теорему Миллмана.

Шаг 1 Наблюдая за приведенным выше рисунком, мы можем сказать, что все четыре ветви соединены параллельно. И мы можем применить теорему Миллмана.

Шаг 2 Есть три ветви, кроме ветви загрузки. Итак, есть три напряжения и три сопротивления, как указано ниже.

E ₁ =12 В и R ₁ =2 Ом

E ₂ =0 В и R ₁ =4 Ом

E ₃ =16 В и R ₁ =4 Ом

Шаг 3 Чтобы найти эквивалентное сопротивление, нам нужно убрать источники напряжения путем короткого замыкания и разомкнуть клеммы нагрузки. Поэтому оставшаяся цифра показана на рисунке ниже.

R_eq =1 Ом

Как показано на рисунке выше, все сопротивления подключены параллельно. Итак, эквивалентное сопротивление равно;

Шаг 4 Теперь применим теорему Миллмана.

В этом примере у нас есть 3 ветки. Поэтому мы используем n=3.

Подставьте указанные выше значения в это уравнение.

E =10 В

Это напряжение на клемме нагрузки.

Шаг 5 Поместите эти значения в эквивалентную схему Миллмана.

Шаг 6 Согласно закону Ома,

I_L =1А

Следовательно, напряжение на нагрузке составляет 10 В, а ток, проходящий через нагрузку, равен 1 А.

• Публикация по теме: Теорема Теллегена — Решенные примеры и моделирование MATLAB

Анализ цепи переменного тока с использованием теоремы Миллмана

Пример №2

Определите ток и напряжение на клеммах нагрузки, используя теорему Миллмана.

Шаг 1 Как показано на рисунке выше, четыре ветви соединены параллельно. Следовательно, мы можем применить теорему Миллмана.

Шаг 2 Если не рассматривать ветвь нагрузки, то ветвей три. Чтобы упростить расчет, мы перечислим напряжения и импеданс. В случае цепи переменного тока нам нужно использовать слово импеданс вместо сопротивления.

Значения источников напряжения приведены в полярной форме. Но значения импедансов даны в прямоугольной форме. Итак, нам нужно преобразовать значения источника напряжения в полярную форму.

V ₁ =12∠60° =6 + j 10,392

V ₂ =9∠0° =9 + j 0

V ₃ =6∠30° =5,196 + j 3

Импедансы представлены в прямоугольной форме. Итак, мы перечисляем все как есть.

Z ₁ =6 Ом

Z ₂ =j 6 Ом

Z ₃ =–j 6 Ом

Шаг 3 Найдите эквивалентное сопротивление. Как показано в приведенном выше примере, нам необходимо отключить все источники напряжения путем короткого замыкания. А оставшаяся схема показана на рисунке ниже.

Здесь все импедансы соединены параллельно. Таким образом, эквивалентное сопротивление будет равно;

Z _экв. =6 Ом

Шаг 4 Теперь применим теорему Миллимана,

Здесь у нас есть три ветви. Следовательно, n равно 3.

V =6 + 1j 0,392 – j 9 + j 5,196 – 3

V =3 + j 6,588

Теперь нам нужно найти среднеквадратичное значение.

V =7,23 В

Шаг 5 Поместите эти значения в эквивалентную схему Миллмана.

Шаг 6 Согласно закону Ома,

I_L =0,9 А

• Похожая запись: Теорема о максимальной передаче мощности для цепей переменного и постоянного тока
  

Ограничение теоремы Миллмана

Теорема Миллмана очень полезна для решения сети. Но есть некоторые ограничения, перечисленные ниже.

• Эта теорема не применяется к схеме, имеющей зависимый источник между независимыми источниками.
• Для схемы, имеющей менее двух независимых источников, эта теорема бесполезна.
• Эта теорема неприменима к схеме, состоящей только из последовательных элементов.
• Если между источником есть элемент, связанный с источником, эта теорема неприменима.

Применения теоремы Миллмана

Теорема Миллмана широко используется в сетевом анализе для решения сложных схем. Применение теоремы Миллмана приведено ниже.

• Теорема Миллмана наиболее полезна для нахождения напряжения и тока импеданса нагрузки в случае наличия большего количества параллельных ветвей с несколькими источниками напряжения.
• Вычислить эту теорему несложно. Это не требует использования дополнительных уравнений.
• Эта теорема используется для решения сложной схемы со сложными элементами, такими как операционный усилитель.

Связанные учебные пособия по анализу электрических цепей:

• Анализ схемы SUPERNODE — шаг за шагом с решенным примером
• Анализ схемы SUPERMESH — шаг за шагом с решенным примером
• Закон Кирхгофа о токе и напряжении (KCL и KVL) | Решенный пример
• Калькулятор по правилу Крамера – система из 2 и 3 уравнений для электрических цепей
• Мост Уитстона — схема, работа, происхождение и применение
• Калькуляторы для электротехники и электроники
• 5000+ формул и уравнений для электротехники и электроники