Логические отношения на диаграммах Венна

В четвертом примере A частичное перекрытие B . Тем не менее, мы сначала посмотрим на всю заштрихованную область ниже, а затем только на перекрывающуюся область. Давайте назначим несколько логических выражений для вышеперечисленных областей, как показано ниже.

Внизу слева есть красная горизонтальная заштрихованная область для A . . Для B заштрихована синяя вертикальная заштрихованная область. .

Если мы посмотрим на всю область обоих, независимо от стиля штриховки, на сумму всех заштрихованных областей, мы получим иллюстрацию выше справа, которая соответствует включающему ИЛИ функция от A, B. Логическое выражение - A + B .

Это показано 45 ^o заштрихованная область. Все, что находится за пределами заштрихованной области, соответствует (A + B) -не как показано выше. Переходим к следующей части четвертого примера.

Другой способ взглянуть на диаграмму Венна с перекрывающимися кругами - это посмотреть только на ту часть, которая является общей для обоих A и B , область с двойной штриховкой внизу слева. Логическое выражение для этой общей области, соответствующее оператору И функция - AB как показано ниже справа. Обратите внимание, что все, что находится за пределами AB , выделенного двойной штриховкой является AB-не .

Обратите внимание, что некоторые из участников A , выше, являются членами (AB) ’ . Некоторые из участников B являются членами (AB) ’ . Но ни один из участников (AB) ’ находятся в дважды заштрихованной области AB .

Мы повторили второй пример выше слева. Ваш пятый пример, который вы ранее набросали, приведен выше для сравнения. Позже мы найдем случайный элемент или группу элементов, полностью содержащихся в другой группе на карте Карно.

Затем мы покажем разработку логического выражения, включающего дополненную переменную, ниже.

Пример: (вверху)

Покажите диаграмму Венна для A’B (А-не И Б).

Решение: Начиная с верхнего левого угла у нас есть красная горизонтальная заштрихованная A ’ (A-нет), затем вверху справа B . Далее, в нижнем левом углу, мы формируем функцию И A’B за счет наложения двух предыдущих регионов. Большинство людей использовали бы это как ответ на предложенный пример.

Однако только двойная штриховка A’B показан справа для ясности. Выражение A’B это регион, в котором оба A ’ и B перекрывать. Чистая область за пределами A’B равно (A’B) ’ , что не было частью поставленного примера.

Давайте попробуем что-нибудь подобное с логическим оператором ИЛИ функция.

Пример: Найдите B ’+ A

Решение: Вверху справа мы начинаем с B . который дополняется до B ’ . Наконец, мы накладываем A поверх B ’ . Поскольку мы заинтересованы в формировании ИЛИ функция, мы будем искать всю заштрихованную область независимо от стиля штриховки. Таким образом, A + B ’ это вся заштрихованная область вверху справа. Для ясности он показан в виде одной области штриховки внизу слева.

Пример: Найдите (A + B ’)’

Решение:

Зеленый 45 ^o A + B ’ заштрихованная область была получена в предыдущем примере. Переходим к (A + B ’)’ В данном примере слева вверху давайте найдем дополнение к A + B ’ , то есть белая прозрачная область вверху слева, соответствующая (A + B ’)’ .

Обратите внимание, что мы повторили справа AB ’ результат из предыдущего примера заштрихован двойной штриховкой для сравнения с нашим результатом. Регионы, соответствующие (A + B ’)’ и AB ’ вверху слева и справа, соответственно, идентичны. Это можно доказать с помощью теоремы ДеМоргана и двойного отрицания.

Это поднимает вопрос. Диаграммы Венна на самом деле ничего не доказывают. Для формальных доказательств нужна булева алгебра. Однако диаграммы Венна можно использовать для проверки и визуализации. Мы проверили и визуализировали теорему ДеМоргана с помощью диаграммы Венна.

Пример:

Что означает логическое выражение A ’+ B’ как на диаграмме Венна?

Решение: рисунок выше

Начните с красной горизонтальной штриховки A ’ и синяя вертикальная штриховка B ’ выше. Наложите диаграммы, как показано. Мы все еще можем видеть A ’ красная горизонтальная штриховка накладывается на другую штриховку. Он также заполняет то, что раньше было частью B (B-истинный) круг, но только часть B открытый кружок не является общим для A открытый круг.

Если мы посмотрим только на B ’ синяя вертикальная штриховка, заполняющая ту часть открытого A круг не является общим для B . Любая область с любой штриховкой, независимо от типа, соответствует A ’+ B’ . То есть все, кроме открытого белого пространства в центре.

Пример:

Что означает логическое выражение (A ’+ B’) ’ как на диаграмме Венна?

Решение: над рисунком, внизу слева

Глядя на белое открытое пространство в центре, это все НЕ в предыдущем решении A ’+ B’ , то есть (A ’+ B’) ’ .

Пример: Покажите, что (A ’+ B’) ’=AB

Решение: рисунок ниже, нижний левый

Ранее мы показали на диаграмме вверху справа, что белая открытая область - это (A ’+ B’) ’ . В предыдущем примере мы показали дважды заштрихованную область на пересечении (наложении) AB . Здесь повторяются левая и средняя цифры.

Сравнивая две диаграммы Венна, мы видим, что эта открытая область, (A ’+ B’) ’ , совпадает с дважды заштрихованной областью AB (А И Б). Мы также можем доказать, что (A ’+ B’) ’=AB по теореме ДеМоргана и двойному отрицанию, как показано выше.

Выше мы показываем диаграмму Венна с тремя переменными с областями A (красный горизонтальный), B (синий вертикальный) и, C (зеленый 45 ^o ). В самом центре обратите внимание, что все три области перекрываются, представляя логическое выражение ABC . .

Также есть область большего размера в форме лепестка, где A и B перекрытие, соответствующее логическому выражению AB . Аналогичным образом A и C перекрытие дает логическое выражение AC . И B и C перекрытие дает логическое выражение BC .

Глядя на размер регионов, описанных выражением AND выше, мы видим, что размер области зависит от количества переменных в связанном выражении AND.

• А , 1-переменная - это большая круглая область.
• AB , 2-переменная - это меньшая область в форме лепестка.
• ABC , 3-переменная - наименьшая область.
• Чем больше переменных в термине AND, тем меньше регион.