Системы счисления

Римские цифры

Римляне разработали систему, которая была значительным улучшением по сравнению с хеш-метками, поскольку в ней использовались различные символы (или шифры ) для представления все более больших количеств.

Обозначение для 1 - это заглавная буква I. Обозначение для 5 - это заглавная буква V. Другие шифры имеют возрастающие значения:

 X =10 L =50 С =100 D =500 M =1000 

Если шифр сопровождается другим шифром равной или меньшей ценности непосредственно справа от него, без шифров, превосходящих этот другой шифр справа от этого другого шифра, значение этого другого шифра добавляется к общему количеству.

Таким образом, VIII символизирует число 8, а CLVII символизирует число 157. С другой стороны, если шифр сопровождается другим шифром меньшей ценности непосредственно слева, значение этого другого шифра вычитается от первой. Следовательно, IV символизирует число 4 (V минус I), а CM символизирует число 900 (M минус C).

Вы могли заметить, что конечные титры для большинства фильмов содержат примечание о дате производства римскими цифрами. Для 1987 года это будет:MCMLXXXVII. Разберем это число на составные части слева направо:

 M =1000 + СМ =900 + L =50 + XXX =30 + V =5 + II =2 

Разве вы не рады, что мы не используем эту систему счисления? Большие числа очень сложно обозначить таким образом, и левое против правого / вычитание против сложения значений тоже может быть очень запутанным.

Еще одна серьезная проблема этой системы заключается в том, что в ней нет условий для представления числа ноль или отрицательных чисел, которые являются очень важными понятиями в математике.

Однако римская культура была более прагматичной по отношению к математике, чем большинство других, и решила развивать свою систему счисления только настолько, насколько это было необходимо для использования в повседневной жизни.

Разместите значение

Одной из важнейших идей в области счисления мы обязаны древним вавилонянам, которые были первыми (насколько нам известно), разработавшими концепцию положения в зашифрованном виде или числового значения для представления больших чисел.

Вместо того, чтобы изобретать новые шифры для представления больших чисел, как это делали римляне, они повторно использовали те же самые шифры, размещая их в разных положениях справа налево.

Наша собственная десятичная система счисления использует эту концепцию, только с десятью цифрами (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9), используемыми в «взвешенных» позициях для представления очень больших и очень маленьких чисел.

Каждый шифр представляет собой целое число, и каждое место справа налево в обозначении представляет собой константу умножения или вес , для каждого целого количества.

Например, если мы видим десятичное обозначение «1206», мы знаем, что оно может быть разбито на составляющие его весовые произведения как таковые:

 1206 =1000 + 200 + 6 1206 =(1 x 1000) + (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1) 

Каждый шифр называется цифрой . в десятичной системе счисления, и каждое значение веса или разряда в десять раз больше, чем значение справа.

Итак, у нас есть единицы место, разряд десятков, сотни место, разряд тысяч и т. д., работая справа налево.

Прямо сейчас вы, наверное, задаетесь вопросом, почему я стараюсь описывать очевидное. Кому нужно рассказывать, как работает десятичная система счисления, после того, как вы изучили математику на таком продвинутом уровне, как алгебра и тригонометрия?

Причина в том, чтобы лучше понять другие системы счисления, сначала узнав, как и почему из той, к которой вы уже привыкли.

В десятичной системе счисления используются десять цифр и весовые коэффициенты, кратные десяти. Что, если бы мы создали систему счисления с той же стратегией взвешивания мест, но с меньшим или большим количеством шифров?

Двоичная нумерация

Такой системой является двоичная система счисления. Вместо десяти разных зашифрованных символов, каждая из которых весовая константа в десять раз больше предыдущей, у нас всего два символы шифрования, и каждая константа веса дважды столько же, сколько и предыдущий.

Двумя допустимыми символами шифра для двоичной системы счисления являются «1» и «0», и эти шифры располагаются справа налево с удвоением значений веса. Крайнее правое место - это те место, как и в десятичной системе счисления. Двигаясь налево, у нас есть двойки место, четверки место, восьмерки место, шестнадцать место и т. д.

Например, следующее двоичное число может быть выражено, как и десятичное число 1206, как сумма каждого значения шифра, умноженная на его соответствующую константу веса:

 11010 =2 + 8 + 16 =26 11010 =(1 х 16) + (1 х 8) + (0 х 4) + (1 х 2) + (0 х 1) 

Это может сбивать с толку, так как я написал число в двоичной системе счисления (11010), а затем показал его разрядные значения и общее количество в стандартной десятичной форме счисления (16 + 8 + 2 =26). В приведенном выше примере мы смешиваем два разных вида числовой записи.

Чтобы избежать ненужной путаницы, мы должны указать, какую форму нумерации мы используем, когда пишем (или печатаем!). Как правило, это делается в виде нижнего индекса, где «2» означает двоичное, а «10» - десятичное, поэтому двоичное число 11010 ₂ равно десятичному числу 26 ₁₀ .

Нижние индексы не являются символами математических операций, в отличие от верхних индексов (экспонент). Все, что они делают, это указывают, какую систему счисления мы используем, когда пишем эти символы, чтобы их могли прочитать другие. Если вы видите «3 ₁₀ ”, Все это означает, что число три записано с использованием десятичной дроби . нумерация.

Однако если вы видите «3 ¹⁰ ”, Это означает совсем другое:три в десятой степени (59 049). Как обычно, если нижний индекс не отображается, предполагается, что шифр (ы) представляют десятичное число.

Обычно количество типов шифров (и, следовательно, множитель разряда), используемых в системе счисления, называется базой этой системы. Двоичное число именуется «основанием два», а десятичное - «основанием десять».

Кроме того, мы называем каждую позицию шифра в двоичном формате битом . а не знакомое слово цифра используется в десятичной системе счисления.

Итак, зачем кому-то использовать двоичную нумерацию? Десятичная система с ее десятью цифрами имеет большой смысл, поскольку у нас есть десять пальцев, на которых мы можем сосчитать двумя руками. (Интересно, что в некоторых древних центральноамериканских культурах использовались системы счисления с основанием двадцати.

Предположительно, они использовали для счета пальцы рук и ног !!). Но основная причина того, что двоичная система счисления используется в современных электронных компьютерах, заключается в простоте представления двух состояний шифра (0 и 1) в электронном виде.

С относительно простой схемой мы можем выполнять математические операции с двоичными числами, представляя каждый бит числа схемой, которая либо включена (ток), либо выключена (нет тока). Так же, как на счетах, где каждый стержень представляет собой другую десятичную цифру, мы просто добавляем больше цепей, чтобы дать нам больше битов для обозначения больших чисел.

Двоичная нумерация также хорошо подходит для хранения и поиска числовой информации:на магнитной ленте (пятна оксида железа на ленте либо намагничиваются для двоичной «1», либо размагничиваются для двоичной «0»), оптических дисках (лазерный -пожаренная ямка в алюминиевой фольге, представляющая двоичную «1», и несгоревшее пятно, представляющее двоичную «0»), или множество других типов носителей.

Прежде чем мы перейдем к изучению того, как именно все это делается в цифровых схемах, нам необходимо поближе познакомиться с двоичными и другими связанными с ними системами счисления.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:

• Рабочий лист систем счисления