Восьмеричная и шестнадцатеричная системы: практическое руководство для инженеров

Двоичное представление — родной язык цифровых схем, но длинные строки нулей и единиц затрудняют отладку и проектирование. Для упрощения общения инженерами, техниками и программистами используются системы с основанием 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадцатеричная), которые легко преобразуются в двоичную и обратно.

Восьмеричная — позиционная система с восемью символами (0–7), каждый разряд — степень 8. Шестнадцатеричная расширяет алфавит до A–F, давая шестнадцать символов (0–9, A–F) и вес-степень 16 для каждой позиции.

Ниже — сравнение первых двадцати десятичных чисел в четырёх системах:

Число Десятич. Двоич. Восьм. Шестн.
----- ------- ------- ----- -----------
Ноль  0       0       0     0
Один  1       1       1     1
Два   2       10      2     2
Три   3       11      3     3
Четыре 4      100     4     4
Пять  5       101     5     5
Шесть 6       110     6     6
Семь  7       111     7     7
Восемь 8      1000    10    8
Девять 9      1001    11    9
Десять 10     1010    12    A
Одиннадцать 11  1011    13    B
Двенадцать 12  1100    14    C
Тринадцать 13  1101    15    D
Четырнадцать 14 1110    16    E
Пятнадцать 15  1111    17    F
Шестнадцать 16 10000   20    10
Семнадцать 17  10001   21    11
Восемнадцать 18 10010   22    12
Девятнадцать 19 10011   23    13
Двадцать 20   10100   24    14

Восьмеричная и шестнадцатеричная не просто академический интерес — они дают краткую запись двоичных данных. Так как 8 = 2³ и 16 = 2⁴, группы из трёх или четырёх двоичных бит напрямую отображаются в один восьмеричный или шестнадцатеричный разряд.

Преобразование двоичного в восьмеричное

ДВОИЧНОЕ В ВОСЬМЕРИЧНОЕ
Преобразовать 10110111.1₂ в восьмеричное:
Шаг 1: Дописать нули для полных 3-битных групп.
010 110 111 100
Шаг 2: Перевести каждую группу.
2   6   7   4
Результат: 10110111.1₂ = 267.4₈

Группировка начинается от двоичной точки в обе стороны, добавляя неявные нули при необходимости.

Преобразование двоичного в шестнадцатеричное

ДВОИЧНОЕ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЕ
Преобразовать 10110111.1₂ в шестнадцатеричное:
Шаг 1: Дописать нули для полных 4-битных групп.
1011 0111 1000
Шаг 2: Перевести каждую группу.
B    7    8
Результат: 10110111.1₂ = B7.8₁₆

Обратное преобразование следует тому же принципу: каждый восьмеричный или шестнадцатеричный разряд раскрывается в 3- или 4-битный двоичный эквивалент.

Шестнадцатеричная система получила широчайшее применение, потому что стандартные разрядности данных — 8, 16, 32, 64, 128 бит — кратны четырём и идеально выравниваются по 4-битным группам. Восьмеричная, требующая групп по три, редко совпадает со стандартными машинными словами.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист по системам счисления