Блок 2: Программируемые оси ЧПУ и системы позиционирования — освоение декартовых координат

Цель

После изучения данного раздела вы сможете:

• Понять декартову систему координат.
• Понять декартовы координаты на плоскости.
• Понять декартовы координаты в трехмерном пространстве.
• Понять четыре квадранта.
• Объяснить разницу между полярными и прямоугольными координатами.
• Идентифицировать программируемые оси на станке с ЧПУ.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Декартовы координаты позволяют задать положение точки на плоскости или в трехмерном пространстве. Координаты точки — это пара чисел (в 2D) или тройка чисел (в 3D), задающих знаковые расстояния от координатных осей. Сначала нужно понять систему координат для определения направлений и относительного положения. Система координат определяет точки в пространстве, устанавливая направления (оси) и опорное положение (начало координат). Система может быть прямоугольной или полярной.

Как точки на прямой соответствуют вещественной числовой прямой, так точки на плоскости соответствуют парам вещественных чисел с помощью двух координатных прямых. Для этого строят две перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в начале координат. Для удобства на осях X и Y наносят равномерные деления в обе стороны: влево-вправо (ось X) и вверх-вниз (ось Y). Одну прямую делают вертикальной с положительным направлением вверх и отрицательным вниз. Другую — горизонтальной с положительным направо и отрицательным налево. Эти прямые называются координатными осями: горизонтальная — ось X, вертикальная — ось Y. Вместе они образуют декартову (прямоугольную) систему координат. Точка пересечения обозначается O — начало координат. См. рис. 1.

По сути — две вещественные числовые прямые, объединенные: одна влево-вправо, другая вверх-вниз. Горизонтальная — ось X, вертикальная — ось Y.

Начало координат (The Origin)

Точка (0,0) имеет особое название «Начало координат», иногда обозначается буквой «O».

Вещественная числовая прямая

Основа системы — вещественная числовая прямая с равными интервалами. Ось помечается (X, Y или Z). Одна точка обозначается как Начало. Числа с одной стороны — положительные, с другой — отрицательные. См. рис. 2.

Декартовы координаты на плоскости

Плоскость с введенной прямоугольной системой координат называется координатной плоскостью или X-Y плоскостью. Установим взаимно-однозначное соответствие между точками координатной плоскости и парами вещественных чисел. Если точка A лежит в координатной плоскости, проведем через неё две перпендикулярные оси: к X и к Y. Если первая пересекает ось X в точке с координатой x, а вторая — ось Y в точке с координатой y, то точке A ставим в соответствие пару (x, y) (см. рис. 2). Число x — абсцисса (X-координата), y — ордината (Y-координата). Говорим, что A — точка с координатами (x, y) и обозначаем A(x, y). Точка (0,0) — «Начало координат», иногда «O».

Абсцисса и Ордината

Слова «Абсцисса» и «Ордината» — это просто значения X и Y:

• Абсцисса — горизонтальное (X) значение в паре координат: как далеко точка по горизонтали.
• Ордината — вертикальное (Y) значение: как далеко точка вверх или вниз.

Отрицательные значения X и Y

На вещественной числовой прямой могут быть отрицательные значения.

Отрицательные: от нуля в противоположном направлении. См. рис. 4.

Таким образом, для отрицательного числа:

• по X — влево
• по Y — вниз

Например, (-3, 5): влево по X на 3, затем вверх по Y на 5 (Квадрант II: X отрицательный, Y положительный).
(-3, -5): влево по X на 3, затем вниз по Y на 5 (Квадрант III: оба отрицательные).
Используя декартовы координаты, отмечают точку на графике по тому, как далеко она по горизонтали и вертикали. См. рис. 5. Точка (12, 5) — 12 единиц по X, 5 единиц вверх по Y.

Оси X и Y

Горизонтальная линия — ось X, вертикальная — ось Y; обе проходят через ноль (Начало, (0,0)).

Объедините их на графике — см. рис. 6.

По сути — набор двух вещественных числовых прямых.

Ось: опорная линия, от которой измеряют расстояния.

Пример:

Точка (6,4): идем по X 6 единиц, затем вверх по Y 4 единицы — «ставим точку».

Запомнить, какая ось какая, можно так:

Координаты всегда записываются в определенном порядке:

• сначала горизонтальное расстояние,
• затем вертикальное.

Упорядоченная пара:

Числа разделены запятой, в скобках: (7,4).

Пример: (7,4) — 7 единиц вправо (ось X), 4 единицы вверх (ось Y).

Декартовы координаты в трехмерном пространстве

В трехмерном пространстве (XYZ), ориентированном перпендикулярно XY-плоскости. Ось Z проходит через начало XY-плоскости. Координаты определяются по восток-запад (X), север-юг (Y), вверх-вниз (Z) смещениями от начала. Декартова система основана на трех взаимно перпендикулярных осях: X, Y, Z — см. рис. 6 ниже. Три оси пересекаются в точке — начале координат. Представьте начало как точку, где стены в углу комнаты встречаются с полом. Ось X — горизонтальная линия пересечения левой стены и пола. Ось Y — горизонтальная линия пересечения правой стены и пола. Ось Z — вертикальная линия пересечения стен. Видимые части линий — положительные направления осей. Отрицательные — продолжения линий за пределами комнаты.

Трехмерные декартовы оси. Представление трех осей. Положительные X, Y, Z — стороны, подписанные x, y, z. Начало — пересечение всех осей. Ветвь каждой оси по другую сторону от начала (неподписанная) — отрицательная часть.

При работе с 3D движением настраивают подходящую систему координат. Простейший тип — декартова система. Состоит из трех взаимно перпендикулярных осей: X, Y, Z. По соглашению ориентация такова: если указательный, средний и большой пальцы правой руки взаимно перпендикулярны, они могут быть выровнены вдоль X, Y, Z соответственно. Такая система называется правосторонней. См. рис. 7. Точка пересечения трех осей — начало координат.

Декартовы координаты точки в трех измерениях — тройка чисел (x, y, z). Три числа задают знаковые расстояния от начала вдоль X, Y, Z соответственно. Можно визуализировать как параллелепипед с ребрами, параллельными осям, и противоположными углами в начале и заданной точке.

Теперь точки можно определять в трехмерном объеме. Это позволяет задавать точки в 3D от начала. Координаты (x, y, z) указывают знаковые расстояния от начала вдоль X, Y, Z. Z-координата становится третьей записью при определении положения.

В примере с углом комнаты: представьте, вы ростом 5 м по Z, идете 2 м от начала по X, поворачиваете налево и идете параллельно Y на 4 м внутрь комнаты. Координаты верхушки головы: (2, 4, 5).

Например, запись (2, 4, 5) соответствует X=2, Y=4, Z=5. См. рис. 8.

3 Измерения

Декартовы координаты для локализации точек в 3D, как в примере:

Квадранты

Координатные оси делят плоскость на четыре части — квадранты (см. рис. 9). Квадранты нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхнего правого: I, II, III, IV с обозначениями осей как на рисунке.

Четыре квадранта:

При включении отрицательных значений оси X и Y делят пространство на 4 части: квадранты I, II, III, IV (нумерация против часовой стрелки).

• Квадрант I: X > 0, Y > 0
• Квадрант II: X < 0, Y > 0
• Квадрант III: X < 0, Y < 0
• Квадрант IV: X > 0, Y < 0

Квадрант	X (Горизонталь)	Y (Вертикаль)	Пример
I	Положительный	Положительный	(3,2)
II	Отрицательный	Положительный	(-5, 2)
III	Отрицательный	Отрицательный	(-2, -1)
IV	Положительный	Отрицательный	(2, -5)

Пример: точка «A» (3,2) — 3 единицы по X, 2 единицы вверх по Y. Оба положительны — квадрант I.

Пример: точка «C» (-2,-1) — 2 единицы по X в отрицательном направлении, 1 единица вниз по Y. Оба отрицательны — квадрант III.

Измерения: 1, 2, 3 и больше…

1. Вещественная числовая прямая — только влево-вправо → позиция одним числом.
2. Декартовы координаты — влево-вправо, вверх-вниз → позиция двумя числами.
3. 3 измерения — влево-вправо, вверх-вниз, вперед-назад.

Тест по блоку

1. Что такое ЧПУ?
2. Опишите декартову систему координат.
3. Что такое Начало координат?
4. Горизонтальная линия называется как?
5. Вертикальная линия называется как?
6. Опишите вещественную числовую прямую.
7. Объясните Абсциссу и Ординату.
8. Что представляют три оси трехмерной декартовой системы координат?
9. Координатные оси делят плоскость на четыре части — как это называется?
10. В Квадранте IV оси X и Y каковы?