Законы Кирхгофа: ток (КТК) и напряжение (КНК) — пошаговое решение примеров

КТК и КНК — Первые и вторые законы Кирхгофа с решенным примером

Немецкий физик Роберт Кирхгоф в 1847 году сформулировал два фундаментальных закона, позволяющих рассчитывать эквивалентное сопротивление сложных цепей и токи в отдельных ветвях. Применимы как к цепям постоянного, так и переменного тока. Известны как Закон Кирхгофа по токам (КТК / KCL) и Закон Кирхгофа по напряжениям (КНК / KVL).

КТК следует из уравнения непрерывности заряда в электродинамике, а КНК — из уравнения Максвелла-Фарадея для статического магнитного поля (производная В по времени = 0).

Закон Кирхгофа по токам (КТК / KCL):

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов, входящих в узел, равна нулю. Или: сумма входящих токов равна сумме выходящих.

Принимаем входящие токи как положительные (+), выходящие — отрицательные (–). Тогда:

I₁ + (–I₂) + (–I₃) + (–I₄) + I₅ = 0

I₁ + I₅ = I₂ + I₃ + I₄

ΣI_вх = ΣI_вых

Пример: в узел входит 8 А, выходят 5 А и 3 А. 8 = 5 + 3 → 8 = 8.

Закон Кирхгофа по напряжениям (КНК / KVL):

В любой замкнутой цепи (контуре) алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах. Также называется законом напряжений или законом контура (Mesh Law).

ΣIR = ΣE

Пояснение КНК:

Рассмотрим замкнутую цепь с двумя источниками ЭДС E₁ и E₂. Суммарная ЭДС: E₁ – E₂ (второе препятствует току). Направление тока выбираем произвольно (по или против часовой стрелки). Падение напряжения в направлении тока — положительное, против — отрицательное.

Уравнение для контура:

E₁ – E₂ = i₁R₁ + i₂R₂ – i₃R₃ – i₄R₄

Важно: Направление обхода контура фиксируется на весь расчет. Если итоговый ток положителен — направление верное; отрицателен — реальный ток в противоположную сторону.

Анализ цепей по законам Кирхгофа: решенный пример

Задача: Резисторы R₁=10 Ом, R₂=4 Ом, R₃=8 Ом соединены с двумя батареями (внутреннее сопротивление пренебрежимо). Найти токи через каждый резистор.

Решение:

Зададим направления токов стрелками. Применим КТК к узлам C и A:

• Ток в контуре ABC = i₁
• Ток в контуре CA = i₂
• Ток в контуре CDA = i₁ – i₂

КНК для контура ABC (20 В по часовой):

10i₁ + 4i₂ = 20 … (1)

КНК для контура ACD (12 В по часовой):

8(i₁ – i₂) – 4i₂ = 12

8i₁ – 12i₂ = 12 … (2)

Умножим (1) на 3: 30i₁ + 12i₂ = 60

Сложим с (2): 38i₁ = 72 → i₁ = 1.895 А (ток через 10 Ом)

Подставим в (1): 10×1.895 + 4i₂ = 20 → 4i₂ = 1.05 → i₂ = 0.263 А (ток через 4 Ом)

Ток через 8 Ом: i₁ – i₂ = 1.895 – 0.263 = 1.632 А

Применение законов Кирхгофа

• Определение неизвестных токов, напряжений и их направлений
• Применимы к любой цепи (см. ограничения ниже), особенно полезны для сложных схем
• База для метода узловых потенциалов и метода контурных токов
• Анализ передачи энергии в электрических цепях

Правила знаков (для упрощения анализа)

• Падение напряжения по направлению тока (по часовой) — положительное (+)
• Падение напряжения против направления тока (против часовой) — отрицательное (–)
• ЭДС, создающая ток по часовой — положительная (+)
• ЭДС, создающая ток против часовой — отрицательная (–)

Ограничения законов Кирхгофа

• КТК предполагает, что ток течет только в проводниках. На высоких частотах паразитные емкости не пренебрежимы — проводники становятся линиями передачи, ток может течь в разомкнутом контуре.
• КНК предполагает отсутствие переменного магнитного потока, пронизывающего контур. В ВЧ-цепях с переменным магнитным полем электрическое поле не является потенциальным, контурный интеграл ≠ 0 — КНК не выполняется напрямую.
• При передаче энергии из магнитного поля в электрическое в уравнение КНК приходится вводить поправочные члены.

Связанные темы (теоремы анализа цепей):

• Теорема Тевенена — пошаговая процедура с примером
• Теорема Нортона — простая процедура с примером
• Анализ цепей с СУПЕРУЗЛОМ (Supernode) — с примером
• Анализ цепей с СУПЕРКОНТУРОМ (Supermesh) — с примером
• Теорема о максимальной передаче мощности (DC & AC)
• Теорема компенсации — доказательство и примеры
• Теорема замещения — пошаговое руководство
• Теорема Миллмана — анализ DC/AC цепей
• Теорема суперпозиции — анализ с примером
• Теорема Теллегена — примеры и MATLAB
• Правило делителя напряжения (VDR) — примеры для R, L, C
• Правило делитора тока (CDR) — примеры для DC/AC
• Закон Ома: простое объяснение с формулами
• Преобразование «Звезда–Треугольник» (Y-Δ)