Освоение анализа суперконтуров: пошаговое руководство с решённым примером

Анализ суперконтуров (Supermesh Analysis) — Условие, формула, решённые примеры

Что такое анализ суперконтуров?

Суперконтур или анализ суперконтуров — лучшая техника вместо контурного анализа для анализа сложных электрических цепей или сетей, где два контура имеют источник тока как общий элемент. Это аналогично использованию анализа суперузлов вместо узлового/нодального анализа для упрощения сети, где суперузел полностью заключает источник напряжения, уменьшая число неопорных узлов на 1 для каждого источника напряжения.

В методе суперконтуров источник тока находится внутри области суперконтура. Поэтому мы можем уменьшить число контуров на 1 для каждого источника тока в цепи.

Одиночный контур можно игнорировать, если источник тока (в этом контуре) лежит на периметре цепи. Альтернативно, ЗКН (Закон Кирхгофа по напряжениям) применяется только к контурам или суперконтурам в обновлённой цепи.

С преамбулы понять трудно, поэтому сначала решим простую цепь анализом суперконтуров, а затем резюмируем весь метод пошагово.

• Связанный пост: Анализ суперузлов (Supernode) | Пошагово с решённым примером

Решённый пример анализа суперконтуров

Пример:

Используйте контурный анализ, чтобы найти V₃ и токи i₁, i₂ и i₃ на схеме?

Решение:

Применяем ЗКН к контуру 1.

80 = 10i₁ + 20(i₁ – i₂) + 30 (i₁ – i₃)

Упрощая:

80 = 10i₁ + 20i₁ – 20i₂ + 30i₁ – 30i₃

80 = 60i₁ – 20i₂ – 30i₃ ….. → Уравнение 1.

Теперь применяем ЗКН к суперконтуру (интеграция контура 2 и контура 3, но мы сократили его на один контур, известный как суперконтур)

30 = 40i₃ + 30(i₃ – i₁) +20(i₂ – i₁)

30 = 40i₃ + 30i₃ – 30i₁ + 20i₂ – 20i₁

30 = 70i₃ – 50i₁ + 20i₂ ….. → Уравнение 2.

Но здесь три переменные: i₁, i₂, i₃. И два уравнения. Нужно третье уравнение.

Независимый источник тока (в суперконтуре) связан с предполагаемыми контурными токами:

15iₓ = i₃ – i₂

i₃ = 15ix + i₂ ….. → Уравнение 3.

Решая уравнения 1, 2 и 3 по правилу Крамера или калькулятору правила Крамера, методу исключения, методу Гаусса или компьютерной программе вроде MATLAB, находим:

i₁ = 0.583 А

i₂ = -6.15 А

i₃ = 2.6 А

Также найдём значение V₃,

V₃ = i₃ x R₃

Подставляя значения:

V₃ = 2.6 А x 40 Ом

V₃ = 104 В.

Резюме анализа суперконтуров (пошагово)

1. Оцените, является ли цепь планарной. Если да — применяйте суперконтур. Если нет — выполняйте узловой анализ.
2. Перерисуйте схему при необходимости и посчитайте число контуров.
3. Обозначьте контурные токи. По правилу, определение всех контурных токов по часовой стрелке даёт более простой анализ.
4. Сформируйте суперконтур, если цепь содержит источники тока, общие для двух контуров. Суперконтур охватывает оба контура.
5. Напишите уравнение ЗКН (Закон Кирхгофа по напряжению) для каждого контура и суперконтура. Начните с простого и подходящего узла. Двигайтесь в направлении контурного тока. Учитывайте знак «-» при составлении и решении уравнений ЗКН. Уравнение ЗКН не нужно, если источник тока лежит на периметре контура — контурный ток определяется по наблюдению.
6. Одно уравнение ЗКТ нужно для каждого определённого суперконтура и делается простым применением ЗКТ. Простыми словами, свяжите ток, вытекающий из каждого источника тока, с контурными токами.
7. Дополнительный случай при наличии зависимых источников. Выразите дополнительные неизвестные величины (токи или напряжения, кроме контурных токов) через подходящие контурные токи.
8. Упорядочьте и организуйте систему уравнений.
9. В конце решите систему уравнений для контурных токов i₁, i₂, i₃ и т.д. Их будет столько, сколько контуров. При трудностях обратитесь к примеру выше.

Связанные посты:

• Теорема Тевенена. Пошаговая процедура с решённым примером
• Теорема Нортона. Простая пошаговая процедура с примером (схематические виды)
• Закон Ома: простое объяснение с условием и формулами
• Теорема о максимальной передаваемой мощности для цепей переменного и постоянного тока
• Законы Кирхгофа по току и напряжению (ЗКТ и ЗКН) | Решённый пример
• Теорема компенсации — доказательство, объяснение и решённые примеры
• Теорема замещения — пошаговое руководство с решённым примером
• Теорема Миллмана — анализ цепей переменного и постоянного тока — примеры
• Теорема суперпозиции — анализ цепей с решённым примером
• Теорема Теллегена — решённые примеры и симуляция в MATLAB
• Правило делителя напряжения (PDR) — решённые примеры для R, L и C цепей
• Правило делителя тока (PDR) — решённые примеры для цепей переменного и постоянного тока
• Преобразование «Звезда-Треугольник» и «Треугольник-Звезда». Y-Δ преобразование