Освоение анализа суперузлов: пошаговое руководство с решённым примером

Анализ суперузлов (Supernode Analysis) — Условие, формула и пошаговый решённый пример

Что такое анализ суперузлов?

Сегодня ответим на частый вопрос: зачем нужен анализ суперузлов, если можно упростить цепь обычным узловым (нодальным) анализом?

В предыдущей статье мы обсуждали, зачем использовать анализ суперконтуров (supermesh) вместо простого контурного анализа. Если вы ухватили суть, то здесь ситуация аналогична. Если нет — объясню на примере.

Рассмотрим обе цепи на рис. 1. Заметили разницу?

Разница — дополнительный источник напряжения 22 В вместо резистора 7 Ом между узлами 2 и 3. Это ключевой момент.

В узловом или нодальном анализе мы применяем ЗКТ (Закон Кирхгофа по токам) в каждом неопорном узле — то есть просто ЗКТ трижды для трёх узлов на рис. 1(а).

Если сделать то же — применить узловой анализ вместо суперузлового — к цепи на рис. 1(б), возникают трудности в узлах 1 и 2: мы не знаем ток в ветке с источником напряжения. К тому же, нет способа выразить ток как функцию напряжения, ведь определение источника напряжения — напряжение не зависит от тока. Из-за этих трудностей используют анализ суперузлов вместо узлового для рис. 1(б).

Есть два метода упрощения цепи на рис. 1(б).

Первый, более сложный: назначить неизвестный ток ветке с источником напряжения. Применить ЗКТ трижды к 3 узлам (по одному уравнению ЗКТ на узел). В конце применить ЗКН (Закон Кирхгофа по напряжениям): v₃ – v₂ = 22 В между узлами 2 и 3. Получим 4 уравнения для неизвестных — немного сложно.

Второй метод проще — анализ суперузлов. Здесь узлы 2, 3 и источник 22 В рассматриваем вместе как суперузел и применяем ЗКТ к обоим узлам (2 и 3) одновременно.

Суперузел обозначен пунктиром. Это возможно, потому что если суммарный ток, вытекающий из узла 2, равен 0, и суммарный ток, вытекающий из узла 3, равен 0, то суммарный ток, вытекающий из комбинации, тоже 0. Концепция показана на рис. 2(б) с суперузлом (область в пунктире).

Теперь решим цепь ниже пошаговым анализом суперузлов, а затем резюмируем весь метод.

• Связанный пост: Анализ суперконтуров (Supermesh) | Пошагово с решённым примером

Решённый пример анализа суперузлов

Пример:

Используйте анализ суперузлов, чтобы найти напряжение на каждом источнике тока, т.е. v₁ и v₂ на рис. 3(а)?

Решение:

Сначала перерисуем цепь как на рис. 3(b)

Начнём с уравнения ЗКТ для узла 1.

4 = 0 + 3v₁ + 3v₃ … → Уравнение 1.

Теперь рассмотрим суперузел (комбинация узлов 1 и 2). К нему подключены один источник тока и три резистора. Применяем ЗКТ к суперузлу (узлы 1 и 2):

9 = 2v₂ + 6v₃ + 3v₃ – 3v₁ + 0.

9 = – 3v₁ + 2v₂ + 9v₃ … → Уравнение 2.

Так как у нас три неизвестных, нужно ещё одно уравнение. Очевидно, возьмём источник напряжения 5 В между узлами 2 и 3:

v₂ – v₃ = 5 … → Уравнение 3.

Решая уравнения 1, 2 и 3 по правилу Крамера или калькулятору правила Крамера, методу исключения, методу Гаусса или компьютерной программе вроде MATLAB, получаем:

• v₃ = 0.575 В или 375 мВ.
• v₂ = 5.375 В.
• v₁ = 1.708 В.

Резюме анализа суперузлов (пошагово)

1. Перерисуйте схему при необходимости.
2. Посчитайте число узлов в цепи.
3. Выберите опорный узел. Лучше — узел с наибольшим числом ветвей, чтобы минимизировать уравнения.
4. Обозначьте узловые напряжения. Их число (N-1), где N — число узлов.
5. Сформируйте суперузел, если в цепи есть источники напряжения. Это делается заключением клемм источника и других элементов между ними в пунктирный контур. Показано на рис. 2(б).
6. Напишите уравнение ЗКТ для каждого неопорного узла и каждого суперузла, не содержащего опорный узел. Слева — сумма токов от источников тока, входящих в суперузел/узел. Справа — токи, вытекающие через резисторы. Учитывайте знак «-» при составлении и решении уравнений ЗКТ.
7. Одно уравнение ЗКТ нужно для каждого определённого суперузла, что делается простым применением ЗКТ. Простыми словами, свяжите напряжение на каждом источнике напряжения с узловыми напряжениями.
8. Если в цепи есть зависимые источники, выразите дополнительные неизвестные величины (токи или напряжения, кроме узловых) через подходящие узловые напряжения.
9. Упорядочьте и организуйте систему уравнений.
10. В конце решите систему уравнений для узловых напряжений V₁, V₂, V₃ и т.д. Их будет (N-1, где N — число узлов). При трудностях обратитесь к решённому примеру выше.

Связанные посты:

• Теорема Тевенена. Пошаговая процедура с решённым примером
• Теорема Нортона. Простая пошаговая процедура с примером (схематические виды)
• Закон Ома: простое объяснение с условием и формулами
• Теорема о максимальной передаваемой мощности для цепей переменного и постоянного тока
• Законы Кирхгофа по току и напряжению (ЗКТ и ЗКН) | Решённый пример
• Теорема компенсации — доказательство, объяснение и решённые примеры
• Теорема замещения — пошаговое руководство с решённым примером
• Теорема Миллмана — анализ цепей переменного и постоянного тока — примеры
• Теорема суперпозиции — анализ цепей с решённым примером
• Теорема Теллегена — решённые примеры и симуляция в MATLAB
• Правило делителя напряжения (PDR) — решённые примеры для R, L и C цепей
• Правило делителя тока (PDR) — решённые примеры для цепей переменного и постоянного тока
• Преобразование «Звезда-Треугольник» и «Треугольник-Звезда». Y-Δ преобразование