Анализ последовательных R-C цепей: импеданс, фазовые отношения и проверка SPICE

В предыдущем разделе мы изучали простые резистивные и ёмкостные цепи переменного тока. Эта статья показывает, как последовательное соединение этих элементов трансформирует поведение цепи.

Последовательная конденсаторная цепь: напряжение отстаёт от тока от 0° до 90°.

Расчёт импеданса

Резистор даёт постоянное сопротивление 5 Ом переменному току на любой частоте, а конденсатор — реактивность 26,5258 Ом при 60 Гц.

Поскольку импеданс резистора — вещественное число 5 Ом ∠ 0° (или 5 + j0 Ом), а импеданс конденсатора — мнимое число 26,5258 Ом ∠ –90° (или 0 – j26,5258 Ом), их совокупное препятствие току — комплексная сумма этих двух значений.

Это комплексное препятствие называется импедансом, обозначается Z и измеряется в Омах, как сопротивление и реактивность. Для показанной цепи общий импеданс равен:

Импеданс связывает напряжение и ток так же, как сопротивление в постоянном токе, но учитывает модуль и фазу:

Эта форма закона Ома (E = IZ) намного полнее версии для постоянного тока (E = IR). Любое сопротивление или реактивность — раздельными или комбинированными в последовательных или параллельных соединениях — можно и должны представлять как единый импеданс.

Расчёт тока

Для определения тока сначала устанавливают фазу источника напряжения в ноль — стандартную точку отсчёта. Импедансы резистивного и ёмкостного элементов всегда имеют фазовые углы 0° и –90° соответственно, независимо от источника.

Ток опережает напряжение источника на 79,325°, меньше 90° опережения в чисто ёмкостной цепи.

Напряжение отстаёт от тока (ток опережает напряжение) в последовательной R-C цепи.

Табличный метод

Как и в анализе постоянного тока, организация значений в таблице упрощает расчёты переменного тока. Для этой последовательной цепи перечисляем известные величины и распространяем их через анализ:

Так как ток общий для всех последовательных элементов, столбец общего тока распределяется на каждый компонент. Вертикальное применение закона Ома даёт падения напряжений на резисторе и конденсаторе:

Напряжение на резисторе имеет ту же фазу, что и ток, подтверждая их согласованность для этого элемента. Напряжение на конденсаторе, –10,675°, ровно на 90° отстаёт от тока цепи, как и ожидается для ёмкостной нагрузки.

Проверка в SPICE

Для верификации аналитических результатов смоделируем цепь в SPICE:

Схема SPICE: R-C.

ac r-c circuit
v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
c1 2 0 100u
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end
freq        v(1,2)      v(2)        i(v1)
6.000E+01   1.852E+00   9.827E+00   3.705E-01
freq        vp(1,2)     vp(2)       ip(v1)
6.000E+01   7.933E+01  -1.067E+01  -1.007E+02

SPICE сообщает фазу тока –100,7°, что соответствует +79,3° после устранения 180° смещения, совпадая с аналитическим результатом 79,325°. Обратите внимание: измеренные напряжения и токи соответствуют модулю (полярной форме) расчётных фазоров, а не прямоугольным компонентам.

Например, вольтметр на резисторе покажет 1,852 В, а не 343,11 мВ (вещественная часть) или 1,8203 В (мнимая часть). Прямоугольная запись удобна для арифметики, но полярная форма напрямую отражает реальные измерения.

Импеданс последовательной R-C цепи вычисляется из сопротивления (R) и ёмкостной реактивности (X_C). Используя E = IR, E = IX_C, E = IZ, диаграмма векторов напряжений параллельна диаграмме импедансов.

Диаграмма импедансов последовательной R-C цепи.

Пример

Пример: Резистор 40 Ом последовательно с конденсатором 88,42 мкФ при 60 Гц. Найти импеданс.

XC = 1/(2πfC)
XC = 1/(2π·60·88,42×10⁻⁶)
XC = 30 Ом
Z = R - jXC
Z = 40 - j30
|Z| = sqrt(40² + (-30)²) = 50 Ом
∠Z = arctan(-30/40) = -36,87°
Z = 40 - j30 = 50∠-36,87°

Обзор

• Импеданс (Z) — общее препятствие току переменного тока, равное комплексной сумме сопротивления и реактивности.
• В последовательных цепях импедансы складываются точно так же, как сопротивления: Z_total = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ.
• Импедансы складываются в комплексной форме независимо от типа компонентов.
• Чисто резистивный импеданс имеет фазовый угол 0° (Z_R = R ∠ 0°).
• Чисто ёмкостный импеданс имеет фазовый угол –90° (Z_C = X_C ∠ –90°).
• Закон Ома для переменного тока: E = IZ; I = E/Z; Z = E/I.
• При сосуществовании резисторов и конденсаторов общая фаза импеданса лежит между 0° и –90°.

Связанные рабочие листы

• Рабочий лист: Последовательные и параллельные цепи переменного тока