Анализ последовательных R-L цепей переменного тока: импеданс, фаза и проверка SPICE

В предыдущем разделе мы изучали простые резистивные и индуктивные цепи переменного тока. Теперь объединим два элемента последовательно, чтобы исследовать взаимодействие сопротивления и реактивности и их влияние на поведение цепи.

Пример последовательной R-L цепи

Рассмотрим следующую схему:

Последовательная резистивно-индуктивная цепь: ток отстаёт от приложенного напряжения от 0° до 90°.

Резистор даёт постоянное сопротивление 5 Ом на всех частотах, а катушка — индуктивную реактивность 3,7699 Ом при 60 Гц. Поскольку сопротивление резистора чисто вещественно (5 Ом ∠ 0°), а реактивность катушки — чисто мнимая (3,7699 Ом ∠ 90°), их совокупный эффект — комплексная сумма, которую называют импедансом.

Импеданс, обозначаемый Z, измеряется в Омах как сопротивление и реактивность, но включает информацию о модуле и фазе.

Общий импеданс цепи:

Сопротивление и закон Ома в переменном токе

Импеданс связывает напряжение и ток так же, как сопротивление в цепях постоянного тока:

Это обобщение закона Ома применяется к любой цепи переменного тока, будь то резистивные, индуктивные или комбинированные элементы. Для последовательных или параллельных соединений весь набор компонентов рассматривается как единый импеданс.

Для нахождения тока сначала устанавливают фазовый референс источника напряжения, обычно принимаемый за 0°. Напряжение на резисторе остаётся в фазе с его током (сдвиг 0°), а напряжение на катушке опережает её ток на +90°.

Ток отстаёт от напряжения в последовательной L-R цепи.

В этой смешанной цепи общий ток отстаёт от напряжения источника всего на 37,016°, гораздо меньше 90° в чисто индуктивной цепи.

Математически падения напряжения на каждом компоненте отражают их индивидуальные фазовые отношения с током:

Напряжение на резисторе имеет ту же фазу, что и ток, подтверждая их согласованность. Напряжение на катушке сдвинуто на 90° относительно тока:

Закон Кирхгофа по напряжениям (KVL) для комплексных величин

KVL справедлив и для комплексных величин:

Проверка в SPICE

Аналитические результаты проверены в SPICE:

Схема SPICE: R-L

v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
l1 2 0 10m
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end

freq        v(1,2)      v(2)        i(v1)
6.000E+01   7.985E+00   6.020E+00   1.597E+00
freq        vp(1,2)     vp(2)       ip(v1)
6.000E+01   -3.702E+01  5.298E+01   1.430E+00

SPICE сообщает ток со смещением 180° относительно источника — соглашение, не влияющее на физическую интерпретацию. Фазовые углы напряжений на резисторе и катушке совпадают с аналитическими предсказаниями (–37,02° и 52,98°).

Табличный метод расчёта

Для упрощения используем табличный метод. Таблица содержит импедансы каждого компонента в прямоугольной и полярной формах, затем их сумму для общего импеданса. По закону Ома (I = E/Z) вычисляется общий последовательный ток, а затем — падения напряжений.

В последовательной цепи ток одинаков во всех элементах. Получив общий ток, умножаем его на импеданс каждого компонента для получения соответствующего падения напряжения. Метод зеркалит подход постоянного тока, но требует комплексной арифметики.

Все величины в анализе переменного тока должны быть представлены как комплексные числа; игнорирование фазы приводит к ошибкам. При правильном учёте фазы техники анализа по сути идентичны анализу цепей постоянного тока.

Показания приборов (вольтметры, амперметры) соответствуют модулю комплексного фазора (полярная запись). Например, вольтметр на резисторе покажет 7,9847 В, а не прямоугольные компоненты 6,3756 В + j4,8071 В.

Резюме

• Импеданс (Z) — комплексная сумма сопротивления (R) и реактивности (X).
• Последовательные импедансы складываются алгебраически: Z_total = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ.
• Чисто резистивный импеданс имеет фазу 0°, чисто индуктивный — +90°.
• Закон Ома для переменного тока: E = IZ, I = E/Z, Z = E/I.
• В смешанной R-L цепи фаза импеданса лежит между 0° и +90°, фаза тока — между 0° и –90°.
• Последовательные цепи переменного тока подчиняются тем же правилам, что и цепи постоянного тока: единый ток, аддитивные падения напряжений, аддитивные импедансы.

Пример

Резистор 40 Ом последовательно с катушкой 79,58 мГн при 60 Гц.

• X_L = 2πfL = 30 Ом.
• Z = R + jX_L = 40 + j30 Ом.
• |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ом.
• ∠Z = arctan(30/40) = 36,87°.
• Z = 50 Ом ∠ 36,87°.

Обзор

• Импеданс cuantifies total opposition to current as a complex number.
• Series impedances add directly; calculations must be performed in complex form.
• Purely resistive or inductive components have fixed phase angles.
• Ohm’s Law generalizes to AC circuits via complex impedance.
• Mixed circuits exhibit intermediate phase angles.
• Series AC circuits mirror DC fundamentals.

Связанные рабочие листы

• Рабочий лист: Катушки индуктивности
• Рабочий лист: Сопротивление, реактивность и импеданс
• Рабочий лист: Индуктивная реактивность