Теорема Миллмана разъяснена: от Тевенена к Нортону и уравнению Миллмана

Когда-нибудь задавались вопросом, как выводится кажущаяся сложной формула «напряжения Миллмана»? Все дело в том, чтобы рассматривать каждую параллельную ветвь — каждую, состоящую из последовательного резистора и источника напряжения — как эквивалент Тевенена, а затем конвертировать их в эквиваленты Нортона. Полученное выражение — это просто знакомое вычисление параллельного сопротивления, но примененное к эквивалентам источников тока.

Числитель большой дроби напоминает сумму ветвенных токов (I=E/R), а знаменатель зеркалит обратную сумму обратных сопротивлений — классическую формулу параллельного сопротивления.

Эквивалентная схема Тевенена

В примере ветвь 1 (B1 + R1) — источник Тевенена 28 В и 4 Ом. Конвертация в Нортон дает источник тока 7 А параллельно 4 Ом. Ветвь 2 становится источником 7 А с 1 Ом, а средняя ветвь — не имеющая источника напряжения — конвертируется в источник 0 А параллельно 2 Ом.

Эквивалентная схема Нортона

Поскольку источники тока в параллели просто складываются, полный ток цепи равен 7 А + 0 А + 7 А = 14 А. Это сложение точно соответствует числителю в формуле Миллмана.

Уравнение Миллмана

Все сопротивления Нортона сидят в параллели, редуцируясь к эквивалентному сопротивлению:

В данном случае параллельное сопротивление составляет 571,43 мОм (0,571 Ом). Эквивалентная схема упрощается до единственного источника Нортона и сопротивления:

Применение закона Ома (E = IR) дает напряжение на эквивалентной паре:

Резюмируя: общий ток — сумма ветвенных токов (E/R), общее сопротивление — обратная величина суммы обратных ветвенных сопротивлений, а полное напряжение равно произведению этих двух величин. Теорема Миллмана — просто краткое выражение этой зависимости.

Понимая, как комбинируются эквиваленты Тевенена и Нортона, загадка уравнения Миллмана исчезает.

• Рабочий лист: Теорема Миллмана