Последовательные схемы резистора-индуктора

В предыдущем разделе мы исследовали, что произойдет в простых цепях переменного тока, состоящих только из резисторов и только катушек индуктивности. Теперь мы последовательно смешаем эти два компонента и исследуем эффекты.

Пример схемы последовательного резистора-индуктора

В качестве примера возьмем эту схему для работы:

Цепь индуктивности последовательного резистора:ток отстает от приложенного напряжения от 0 ° до 90 °.

Резистор будет обеспечивать сопротивление 5 Ом переменному току независимо от частоты, а катушка индуктивности будет обеспечивать 3,7699 Ом реактивного сопротивления переменному току при 60 Гц.

Поскольку сопротивление резистора является действительным числом (5 Ом 0 ° или 5 + j0 Ом), а реактивное сопротивление катушки индуктивности - мнимым числом (3,7699 Ом ∠ 90 ° или 0 + j3,7699 Ом), совокупный эффект два компонента будут противостоять току, равному комплексной сумме двух чисел.

Это комбинированное противодействие будет векторной комбинацией сопротивления и реактивного сопротивления. Чтобы кратко выразить это противодействие, нам нужен более полный термин для обозначения противодействия току, чем просто сопротивление или реактивное сопротивление.

Этот термин называется импеданс . , его символ - Z, и он также выражается в единицах Ом, как и сопротивление и реактивное сопротивление. В приведенном выше примере полное сопротивление цепи составляет:

Сопротивление по закону Ома

Импеданс связан с напряжением и током, как и следовало ожидать, аналогично сопротивлению в законе Ома:

Фактически, это гораздо более полная форма закона Ома, чем то, чему учили в электронике постоянного тока (E =IR), точно так же, как импеданс является гораздо более полным выражением сопротивления потоку тока, чем сопротивление. Любые сопротивление и любое реактивное сопротивление, по отдельности или в комбинации (последовательно / параллельно), могут и должны быть представлены как единый импеданс в цепи переменного тока.

Чтобы рассчитать ток в приведенной выше схеме, нам сначала нужно указать опорный фазовый угол для источника напряжения, который обычно считается равным нулю. (Фазовые углы резистивного и индуктивного импеданса всегда 0 ° и + 90 °, соответственно, независимо от заданных фазовых углов для напряжения или тока).

Как и в случае с чисто индуктивной схемой, волна тока отстает от волны напряжения (источника), хотя на этот раз запаздывание не так велико:всего 37,016 ° по сравнению с полными 90 °, как в случае с чисто индуктивной схемой. .

Текущий отстает от напряжения в последовательной цепи L-R.

Для резистора и катушки индуктивности соотношение фаз между напряжением и током не изменилось. Напряжение на резисторе синфазно (сдвиг 0 °) с током, проходящим через него, а напряжение на катушке индуктивности на + 90 ° не совпадает по фазе с током, проходящим через него. Мы можем проверить это математически:

Напряжение на резисторе имеет тот же фазовый угол, что и ток через него, что говорит нам о том, что E и I находятся в фазе (только для резистора).

Напряжение на катушке индуктивности имеет фазовый угол 52,984 °, в то время как ток через катушку индуктивности имеет фазовый угол -37,016 °, то есть разница между ними составляет ровно 90 °. Это говорит нам о том, что E и I все еще не совпадают по фазе на 90 ° (только для катушки индуктивности).

Используйте закон Кирхгофа для напряжения

Мы также можем математически доказать, что эти комплексные значения складываются в общее напряжение, как и предсказывает закон Кирхгофа:

Расчет с использованием SPICE

Давайте проверим правильность наших расчетов с помощью SPICE:

Схема специй:R-L.

 v1 1 0 ac 10 sin г1 1 2 5 l1 2 0 10 мес. .ac lin 1 60 60 .print ac v (1,2) v (2,0) i (v1) .print ac vp (1,2) vp (2,0) ip (v1) .конец 

 частота v (1,2) v (2) i (v1) 6.000E + 01 7.985E + 00 6.020E + 00 1.597E + 00 частота вп (1,2) вп (2) ip (v1) 6.000E + 01 -3.702E + 01 5.298E + 01 1.430E + 0 

Обратите внимание, что, как и в случае цепей постоянного тока, SPICE выводит значения тока так, как если бы они были отрицательными (сдвиг по фазе на 180 °) с напряжением питания. Вместо фазового угла -37,016 ° мы получаем текущий фазовый угол 143 ° (-37 ° + 180 °).

Это просто идиосинкразия SPICE и не представляет ничего значительного в самом симуляторе схемы. Обратите внимание, как показания фазы напряжения резистора и катушки индуктивности совпадают с нашими расчетами (-37,02 ° и 52,98 ° соответственно), как мы и ожидали.

Имея все эти цифры, которые нужно отслеживать даже для такой простой схемы, нам было бы полезно использовать метод «таблицы». Применение таблицы к этой простой последовательной схеме резистор-индуктор будет продолжаться как таковая.

Во-первых, составьте таблицу значений E / I / Z и вставьте все значения компонентов в эти термины (другими словами, не вставляйте в таблицу фактические значения сопротивления или индуктивности в омах и генри соответственно; вместо этого преобразуйте их в комплексные цифры импеданса и запишите их):

Хотя в этом нет необходимости, я считаю полезным написать оба прямоугольная и полярная формы каждой величины в таблице. Если вы используете калькулятор, который может выполнять сложные арифметические операции без необходимости преобразования прямоугольной формы в полярную, то в этой дополнительной документации нет необходимости.

Однако, если вы вынуждены выполнять сложные арифметические операции «от руки» (сложение и вычитание в прямоугольной форме, а умножение и деление в полярной форме), запись каждой величины в обеих формах действительно будет полезна.

Теперь, когда наши «заданные» цифры вставлены в соответствующие места в таблице, мы можем действовать так же, как и с постоянным током:определить общий импеданс по отдельным импедансам. Поскольку это последовательная цепь, мы знаем, что сопротивление протеканию тока (сопротивление или импеданс) складывается, чтобы сформировать полную оппозицию:

Теперь, когда мы знаем полное напряжение и полное сопротивление, мы можем применить закон Ома (I =E / Z) для определения общего тока:

Как и в случае с постоянным током, общий ток в последовательной цепи переменного тока делится поровну между всеми компонентами. Это по-прежнему верно, потому что в последовательной цепи есть только один путь для прохождения тока, поэтому скорость их потока должна быть равномерной во всем. Следовательно, мы можем перенести значения тока в столбцы как для резистора, так и для катушки индуктивности:

Теперь все, что осталось вычислить, - это падение напряжения на резисторе и катушке индуктивности соответственно. Это делается с помощью закона Ома (E =IZ), применяемого вертикально в каждом столбце таблицы:

На этом наша таблица завершена. Точно такие же правила, которые мы применяли при анализе цепей постоянного тока, применимы и к цепям переменного тока, с оговоркой, что все величины должны быть представлены и вычислены в комплексной, а не в скалярной форме.

Пока фазовый сдвиг правильно представлен в наших расчетах, нет принципиальной разницы в том, как мы подходим к основному анализу цепи переменного тока по сравнению с анализом постоянного тока.

Сейчас хорошее время, чтобы рассмотреть взаимосвязь между этими расчетными цифрами и показаниями, полученными при реальных измерениях напряжения и тока прибором.

Цифры здесь, которые напрямую относятся к реальным измерениям, даны в полярной нотации . , а не прямоугольный! Другими словами, если вы подключите вольтметр к резистору в этой цепи, он покажет 7.9847 . вольт, а не 6,3756 (действительный прямоугольник) или 4,8071 (воображаемый прямоугольник) вольт.

Чтобы описать это в графических терминах, измерительные приборы просто сообщают вам, какова длина вектора для этой конкретной величины (напряжения или тока).

Прямоугольная запись, удобная для арифметического сложения и вычитания, является более абстрактной формой записи, чем полярная, по отношению к реальным измерениям. Как я уже говорил ранее, я буду указывать полярные и прямоугольные формы каждой величины в своих таблицах цепей переменного тока просто для удобства математических расчетов.

Это не является абсолютно необходимым, но может быть полезно для тех, кто следит за вами без использования расширенного калькулятора. Если бы мы ограничились использованием только одной формы записи, лучшим выбором была бы полярная, потому что это единственная, которая может быть напрямую коррелирована с реальными измерениями.

Импеданс (Z) последовательной цепи R-L можно рассчитать, учитывая сопротивление (R) и индуктивное реактивное сопротивление (XL). Поскольку E =IR, E =IXL и E =IZ, сопротивление, реактивное сопротивление и импеданс пропорциональны напряжению соответственно. Таким образом, векторная диаграмма напряжения может быть заменена аналогичной диаграммой импеданса.

Серия:схема R-L, векторная диаграмма импеданса

Пример: Дано:резистор 40 Ом последовательно с катушкой индуктивности 79,58 миллигенри. Найдите полное сопротивление 60 Гц.

 XL =2πfL XL =2π · 60 · 79,58 × 10-3 XL =30 Ом Z =R + jXL Z =40 + j30 | Z | =sqrt (402 + 302) =50 Ом ∠Z =арктангенс (30/40) =36,87 ° Z =40 + j30 =50∠36,87 ° 

ОБЗОР:

• Импеданс представляет собой общую меру сопротивления электрическому току и представляет собой комплексную (векторную) сумму («реального») сопротивления и («мнимого») реактивного сопротивления. Он обозначается буквой «Z» и измеряется в омах, как сопротивление (R) и реактивное сопротивление (X).
• Импедансом (Z) управляют так же, как и сопротивлением (R) при анализе последовательной цепи:последовательное сопротивление складывается для формирования общего импеданса. Только обязательно выполняйте все вычисления в сложной (не скалярной) форме! Z _Итого =Z ₁ + Z ₂ +. . . Z _n
• У чисто резистивного импеданса всегда будет фазовый угол точно 0 ° (ZR =R Ω ∠ 0 °).
• У чисто индуктивного импеданса всегда будет фазовый угол точно + 90 ° (ZL =XL Ω ∠ 90 °).
• Закон Ома для цепей переменного тока:E =IZ; I =E / Z; Z =E / I
• Когда резисторы и катушки индуктивности смешиваются в цепях, общий импеданс будет иметь фазовый угол где-то между 0 ° и + 90 °. Ток в цепи будет иметь фазовый угол от 0 ° до -90 °.
• Последовательные цепи переменного тока обладают теми же фундаментальными свойствами, что и последовательные цепи постоянного тока:ток однороден по всей цепи, падения напряжения складываются, чтобы сформировать общее напряжение, а импедансы складываются, чтобы сформировать общий импеданс.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:

• Рабочий лист индукторов
• Таблица сопротивления, реактивного сопротивления и импеданса
• Таблица индуктивного сопротивления