Текущий метод и анализ сетки

Метод Mesh-Current , также известный как метод тока петли , очень похож на метод тока ответвления в том, что он использует одновременные уравнения, закон напряжения Кирхгофа и закон Ома для определения неизвестных токов в сети. Он отличается от метода Branch Current тем, что не используйте Закон Кирхгофа, и он обычно позволяет решить схему с меньшим количеством неизвестных переменных и меньшим количеством одновременных уравнений, что особенно удобно, если вам приходится решать без калькулятора.

Сетка Текущий, традиционный метод

Давайте посмотрим, как этот метод работает на той же задаче:

Определить петли

Первым шагом в методе Mesh Current является определение «петель» в цепи, охватывающей все компоненты. В нашей примерной схеме цикл, образованный B ₁ , R ₁ , и R ₂ будет первым, а цикл, образованный B ₂ , R ₂ , и R ₃ будет вторым. Самая странная часть метода Mesh Current - это представление о циркулирующих токах в каждой из петель. Фактически, этот метод получил свое название от идеи объединения этих токов между петлями, как набор вращающихся шестеренок:

Выбор направления каждого тока совершенно произвольный, как и в методе Branch Current, но полученные уравнения легче решить, если токи идут в одном направлении через пересекающиеся компоненты (обратите внимание, как токи I ₁ и я ₂ оба идут «вверх» через резистор R ₂ , где они «сцепляются» или пересекаются). Если предполагаемое направление тока сетки неверно, ответ для этого тока будет иметь отрицательное значение.

Обозначьте полярности падения напряжения

Следующим шагом является маркировка всех полярностей падения напряжения на резисторах в соответствии с предполагаемыми направлениями токов сетки. Помните, что «входной» конец резистора всегда будет отрицательным, а «выходной» конец резистора положительным по отношению друг к другу, поскольку электроны заряжены отрицательно. Полярность батарей, конечно, определяется ориентацией их символов на схеме и может или не может «согласовываться» с полярностью резистора (предполагаемым направлением тока):

Используя закон Кирхгофа о напряжении, мы теперь можем обойти каждую из этих петель, создав уравнения, представляющие падения напряжения и полярности компонентов. Как и в случае с методом тока ответвления, мы будем обозначать падение напряжения на резисторе как произведение сопротивления (в омах) и соответствующего ему тока сетки (эта величина на данный момент неизвестна). Если два тока соединяются вместе, мы запишем этот член в уравнение, где ток резистора будет суммой двух токов зацепления.

Отслеживание левого контура схемы с помощью уравнений

Отслеживание левого контура цепи, начиная с верхнего левого угла и двигаясь против часовой стрелки (выбор начальных точек и направлений в конечном итоге не имеет значения), считая полярность, как если бы у нас был вольтметр в руке, красный провод на точке впереди и черный провод на точке позади, мы получаем следующее уравнение:

Обратите внимание, что средний член уравнения использует сумму токов сетки I ₁ и я ₂ как ток через резистор R ₂ . Это потому, что токи сетки I ₁ и я ₂ идут в том же направлении через R ₂ , и таким образом дополняют друг друга. Распределение коэффициента 2 на I ₁ и я ₂ термины, а затем объединяя I ₁ члены уравнения, мы можем упростить как таковые:

На данный момент у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными. Чтобы иметь возможность найти два неизвестных тока сетки, мы должны иметь два уравнения. Если мы проследим другой контур цепи, мы сможем получить еще одно уравнение КВЛ и получить достаточно данных для решения двух токов. Я - создание по привычке, я начну с левого верхнего угла правой петли и обведу ее против часовой стрелки:

Упрощая уравнение, как и раньше, мы получаем:

Решение неизвестного

Теперь, имея два уравнения, мы можем использовать один из нескольких методов для математического решения неизвестных токов I ₁ и я ₂ :

Перерисовать схему

Зная, что эти решения являются значениями для сетки токи, а не ответвление токи, мы должны вернуться к нашей диаграмме, чтобы увидеть, как они сочетаются друг с другом и дают токи через все компоненты:

Раствор -1 ампер для I ₂ означает, что мы изначально предполагали, что направление тока неверное. На самом деле я ₂ течет против часовой стрелки при значении (положительном) 1 ампер:

Это изменение направления тока от того, что предполагалось вначале, изменит полярность падения напряжения на R ₂ . и R ₃ из-за тока I ₂ . Отсюда можно сказать, что ток через R ₁ составляет 5 ампер, при падении напряжения на R ₁ будучи произведением силы тока и сопротивления (E =IR), 20 вольт (положительный слева и отрицательный справа).

Также можно смело сказать, что ток через R ₃ составляет 1 ампер, при падении напряжения 1 вольт (E =IR), положительный слева и отрицательный справа. Но что происходит в R ₂ ?

Ток в сети I ₁ идет «вниз» через R ₂ , а ток сетки I ₂ идет «вверх» через R ₂ . Для определения фактического тока через R ₂ , мы должны увидеть, как токи сетки I ₁ и я ₂ взаимодействуют (в данном случае они противоположны) и алгебраически складывают их, чтобы получить окончательное значение. Поскольку я ₁ понижается при 5 ампер, а я ₂ повышается при 1 ампер, реальный ток через R ₂ значение должно быть 4 ампера в «понижении»:

Ток 4 ампера через R ₂ Сопротивление 2 Ом дает нам падение напряжения 8 В (E =IR), положительное вверху и отрицательное внизу.

Преимущества анализа течения сетки

Основным преимуществом анализа Mesh Current является то, что он обычно позволяет решать большую сеть с меньшим количеством неизвестных значений и меньшим количеством одновременных уравнений. В нашем примере задачи потребовалось три уравнения для решения метода Branch Current и только два уравнения с использованием метода Mesh Current. Это преимущество тем больше, чем больше сложность сетей:

Чтобы решить эту сеть, используя токи ответвления, нам нужно было бы установить пять переменных для учета каждого уникального тока в цепи (I ₁ через I ₅ ). Для этого потребуется пять уравнений для решения в форме двух уравнений KCL и трех уравнений KVL (два уравнения для KCL в узлах и три уравнения для KVL в каждом цикле):

Я полагаю, что если у вас нет ничего лучше, чем потратить свое время, чем решить пять неизвестных переменных с помощью пяти уравнений, вы можете не возражать против использования метода анализа тока ветви для этой схемы. Для тех из нас, у кого есть Чем лучше заняться с нашим временем, метод Mesh Current намного проще, требуя для решения всего трех неизвестных и трех уравнений:

Меньшее количество уравнений для работы - очевидное преимущество, особенно при выполнении одновременного решения уравнений вручную (без калькулятора).

Несбалансированный мост Уитстона

Другой тип схемы, которая хорошо подходит для Mesh Current, - это несбалансированный мост Уитстона. Возьмем, к примеру, эту схему:

Поскольку отношения R ₁ / R ₄ и R ₂ / R ₅ неравны, мы знаем, что на резисторе R ₃ будет напряжение , и некоторое количество тока через него. Как обсуждалось в начале этой главы, этот тип схемы не подлежит сокращению с помощью обычного последовательно-параллельного анализа и может быть проанализирован только каким-либо другим методом.

Мы могли бы применить к этой схеме метод Branch Current, но для этого потребуется шесть токи (I ₁ через I ₆ ), что приводит к очень большому набору одновременных уравнений, которые необходимо решить. Однако, используя метод Mesh Current, мы можем решить для всех токов и напряжений с гораздо меньшим количеством переменных.

Нарисовать сетку

Первым шагом в методе Mesh Current является рисование тока сетки, достаточного для учета всех компонентов в цепи. Глядя на нашу мостовую схему, должно быть очевидно, где разместить два из этих токов:

Направление этих сеточных токов, конечно, произвольно. Однако двух токов сетки в этой схеме недостаточно, потому что ни I ₁ ни я ₂ проходит аккумулятор. Итак, мы должны добавить третий ток сетки, I ₃ :

Здесь я выбрал I ₃ в петлю с нижней стороны батареи через R ₄ , через R ₁ и обратно к верхней стороне батареи. Это не единственный путь, который я мог выбрать для себя ₃ , но это кажется самым простым.

Обозначьте полярность падения напряжения на резисторе

Теперь мы должны обозначить полярность падения напряжения на резисторе, следуя каждому из предполагаемых направлений тока:

Обратите внимание на кое-что очень важное:на резисторе R ₄ , полярности для соответствующих токов сетки не совпадают. Это потому, что эти токи сетки (I ₂ и я ₃ ) проходят через R ₄ в разные стороны. Это не исключает использования метода анализа Mesh Current, но немного его усложняет. Хотя позже мы покажем, как избежать R ₄ текущее столкновение. (См. Пример ниже)

Использование KVL

Создание уравнения KVL для верхней петли моста, начиная с верхнего узла и отслеживая по часовой стрелке:

В этом уравнении мы представляем общие направления токов их суммами через общие резисторы. Например, резистор R ₃ со значением 100 Ом имеет падение напряжения, представленное в приведенном выше уравнении KVL выражением 100 (I ₁ + Я ₂ ), поскольку оба тока I ₁ и я ₂ пройти через R ₃ справа налево. То же самое можно сказать и о резисторе R ₁ . , с выражением падения напряжения, показанным как 150 (I ₁ + Я ₃ ), поскольку оба I ₁ и я ₃ пройти через резистор снизу вверх и, таким образом, работать вместе для создания падения напряжения.

Сгенерировать уравнение КВЛ для нижнего контура моста будет не так просто, поскольку у нас есть два тока, идущие друг против друга через резистор R ₄ . Вот как я это делаю (начиная с правого узла и отслеживая против часовой стрелки):

Обратите внимание на то, что второй член в исходной форме уравнения имеет резистор R ₄ Значение 300 Ом, умноженное на разницу между I ₂ и я ₃ (Я ₂ - Я ₃ ). Вот как мы представляем комбинированный эффект двух токов сетки, проходящих в противоположных направлениях через один и тот же компонент. Здесь очень важен выбор подходящих математических знаков:300 (I ₂ - Я ₃ ) не означает то же самое, что и 300 (I ₃ - Я ₂ ). Я решил написать 300 (я ₂ - Я ₃ ) потому что сначала я думал о ₂ Эффект (создание положительного падения напряжения, измерение воображаемым вольтметром на R ₄ , красный провод внизу и черный провод вверху) и во вторую очередь I ₃ Эффект (создание отрицательного падения напряжения, красный провод внизу и черный провод вверху). Если бы я думал о себе ₃ Сначала эффект, а я ₂ Во-вторых, удерживая мои воображаемые выводы вольтметра в тех же положениях (красный внизу и черный вверху), выражение было бы -300 (I ₃ - Я ₂ ). Обратите внимание, что это выражение равно математически эквивалентно первому:+300 (I ₂ - Я ₃ ).

Ну, это касается двух уравнений, но мне все еще нужно третье уравнение, чтобы завершить мой одновременный набор уравнений с тремя переменными, тремя уравнениями. Это третье уравнение также должно включать в себя напряжение батареи, которое до этого момента не фигурировало ни в одном из двух предыдущих уравнений KVL. Чтобы составить это уравнение, я снова прослежу петлю своим воображаемым вольтметром, начиная с нижнего (отрицательного) вывода батареи, шагая по часовой стрелке (опять же, направление, в котором я шагаю, произвольно и не обязательно должно совпадать с направлением тока сетки в этом контуре):

Спасаясь от течений

Решение для I ₁ , Я ₂ , а я ₃ используя любой метод одновременных уравнений, который мы предпочитаем:

Пример: Используйте Octave, чтобы найти решение для I ₁ , Я ₂ , а я ₃ из приведенной выше упрощенной формы уравнений.

Решение: В Octave, клоне Matlab® с открытым исходным кодом, введите коэффициенты в матрицу A между квадратными скобками с элементами столбца, разделенными запятыми, и строками, разделенными точкой с запятой. Введите напряжения в вектор-столбец:b. Неизвестные токи:I ₁ , ₂ , а я ₃ рассчитываются командой:x =A \ b. Они содержатся в векторе столбца x.

 октава:1> A =[300,100,150; 100,650, -300; -150,300, -450] А =300 100 150 100 650 -300 -150 300-450 октава:2> b =[0; 0; -24] b =0 0 -24 октава:3> x =A \ b х =-0,093793 0,077241 0,136092 

Отрицательное значение получено для I ₁ сообщает нам, что предполагаемое направление для этого тока сетки было неправильным. Таким образом, фактические значения тока через каждый резистор таковы:

Расчет падений напряжения на каждом резисторе:

Моделирование SPICE подтверждает точность наших расчетов напряжения:

 несбалансированный мост Уитстона v1 1 0 г1 1 2 150 г2 1 3 50 г3 2 3 100 г4 2 0 300 г5 3 0250 .dc v1 24 24 1 .print dc v (1,2) v (1,3) v (3,2) v (2,0) v (3,0) .конец v1 v (1,2) v (1,3) v (3,2) v (2) v (3) 2.400E + 01 6.345E + 00 4.690E + 00 1.655E + 00 1.766E ​​+ 01 1.931E + 01 

Пример:

(a) Найдите новый путь для текущего I ₃ который не создает противоречивой полярности ни на одном резисторе по сравнению с I ₁ или я ₂ . R ₄ был оскорбительным компонентом. (б) Найдите значения для I ₁ , Я ₂ , а я ₃ . (c) Найдите пять токов резисторов и сравните их с предыдущими значениями.

Решение:

(а) Маршрут I ₃ через R ₅ , R _3, и R ₁ как показано:

Обратите внимание, что конфликтующая полярность на R ₄ был удален. Более того, ни один из других резисторов не имеет противоречивой полярности.

(b) Octave, клон Matlab с открытым исходным кодом (бесплатный), выдает текущий вектор сетки в точке «x»:

 октава:1> A =[300,100,250; 100,650,350; -250, -350, -500] А =300 100 250 100 650 350 -250-350-500 октава:2> b =[0; 0; -24] b =0 0 -24 октава:3> x =A \ b х =-0,093793 -0,058851 0,136092 

Не все токи I ₁ , Я ₂ , а я ₃ такие же (I ₂ ), как и предыдущий мост, из-за различных путей контура. Однако токи резистора сравниваются с предыдущими значениями:

 IR1 =I1 + I3 =-93,793 мА + 136,092 мА =42,299 мА IR2 =I1 =-93,793 мА IR3 =I1 + I2 + I3 =-93,793 мА -58,851 мА + 136,092 мА =-16,552 мА IR4 =I2 =-58,851 мА IR5 =I2 + I3 =-58,851 мА + 136,092 мА =77,241 мА 

Поскольку токи резисторов такие же, как и предыдущие значения, напряжения резисторов будут идентичны и не нужно рассчитывать заново.

ОБЗОР:

• Шаги, которые необходимо выполнить для метода анализа «Mesh Current»:
• (1) Нарисуйте сеточные токи в контурах цепи, достаточные для учета всех компонентов.
• (2) Обозначьте полярность падения напряжения на резисторе в зависимости от предполагаемого направления токов в сетке.
• (3) Напишите уравнения KVL для каждого контура схемы, подставляя произведение IR вместо E в каждом члене уравнения, относящемся к резистору. Если два тока сетки пересекаются через компонент, выразите ток как алгебраическую сумму этих двух токов сетки (т. Е. I ₁ + Я ₂ ), если токи проходят через этот компонент в одном направлении. Если нет, выразите ток как разность (т.е. I ₁ - Я ₂ ).
• (4) Найдите неизвестные сеточные токи (совместные уравнения).
• (5) Если какое-либо решение отрицательное, то предполагаемое направление тока неверно!
• (6) Алгебраически добавьте токи сетки, чтобы найти компоненты тока, разделяющие несколько токов сетки.
• (7) Найдите падение напряжения на всех резисторах (E =IR).

Текущая сетка при осмотре

Мы еще раз посмотрим на «метод сеточного тока», когда все токи идут по часовой стрелке (cw). Мотивация состоит в том, чтобы упростить запись уравнений сетки, игнорируя полярность падения напряжения на резисторе. Однако мы должны обращать внимание на полярность источников напряжения относительно предполагаемого направления тока. Знак падения напряжения на резисторе будет фиксированным.

Если мы напишем набор обычных уравнений тока сетки для схемы ниже, где мы обратим внимание на признаки падения напряжения на резисторах, мы можем переставить коэффициенты в фиксированный шаблон:

После перестановки мы можем писать уравнения путем проверки. Знаки коэффициентов следуют фиксированному шаблону в паре выше или в наборе из трех в правилах ниже.

Сетка текущих правил:

• Этот метод предполагает использование обычных источников напряжения, протекающих по току. Замените любой источник тока, включенный параллельно, резистором, на эквивалентный источник напряжения, подключенный последовательно с эквивалентным сопротивлением.
• Игнорируя направление тока или полярность напряжения на резисторах, нарисуйте токовые петли против часовой стрелки, проходящие через все компоненты. Избегайте вложенных циклов.
• Напишите уравнения закона напряжения в терминах неизвестных токов:I ₁ , Я ₂ , а я ₃ . Коэффициент 1 по уравнению 1, коэффициент 2 по уравнению 2 и коэффициент 3 по уравнению 3 представляют собой положительные суммы резисторов вокруг соответствующих контуров.
• Все остальные коэффициенты отрицательны, что соответствует общему сопротивлению пары шлейфов. Коэффициент 2 уравнения 1 - это резистор, общий для контуров 1 и 2, коэффициент 3 - резистор, общий для контуров 1 и 3. Повторите для других уравнений и коэффициентов.
• + (сумма петли R 1) I1 - (общая петля R 1-2) I2 - (общая петля R 1-3) I3 =E1
  - (общая петля R 1-2) I1 + ( сумма петли R 2) I2 - (общая петля R 2-3) I3 =E2
  - (общая петля R 1-3) I1 - (общая петля R 2-3) I2 + (сумма петли R 3 ) I3 =E3
• Правая часть уравнений равна источнику напряжения электронного тока. Повышение напряжения по сравнению с предполагаемым током против часовой стрелки является положительным, и 0 для отсутствия источника напряжения.
• Решите уравнения для токов в сетке:I ₁ , Я ₂ , и I3. Найдите токи через отдельные резисторы с помощью KCL. Найдите напряжение с помощью закона Ома и KVL.

Хотя приведенные выше правила специфичны для схемы с тремя сетками, правила могут быть расширены на более мелкие или большие сетки. На рисунке ниже показано применение правил. Все три тока тянутся в одном направлении по часовой стрелке. Для каждого из трех контуров записывается одно уравнение КВЛ. Обратите внимание, что на резисторах не указана полярность. Нам это не нужно для определения знаков коэффициентов. Хотя нам нужно обратить внимание на полярность источника напряжения по отношению к направлению тока. Я ₃ по часовой стрелке ток течет от положительного (+) вывода источника l24V, а затем возвращается на (-) вывод. Это повышение напряжения при обычном протекании тока. Следовательно, правая часть третьего уравнения равна -24 В.

В Octave введите коэффициенты в матрицу A с элементами столбцов, разделенными запятыми, и строками, разделенными точкой с запятой. Введите напряжения в вектор-столбец b. Найдите неизвестные токи:I ₁ , Я ₂ , а я ₃ командой:x =A \ b. Эти токи содержатся в векторе-столбце x. Положительные значения указывают на то, что все три тока сетки текут в предполагаемом направлении по часовой стрелке.

 октава:2> A =[300, -100, -150; -100,650, -300; -150, -300,450] А =300-100 -150 -100 650 -300 -150 -300 450 октава:3> b =[0; 0; 24] b =0 0 24 октава:4> x =A \ b х =0,093793 0,077241 0,136092 

Токи сетки соответствуют предыдущему решению за счет другого метода тока сетки. Расчет напряжений и токов резисторов будет идентичен предыдущему решению. Здесь не нужно повторять.

Обратите внимание, что тексты по электротехнике основаны на обычном протекании тока. Методы петлевого тока и тока сетки в этих текстах будут использовать предполагаемые токи сетки по часовой стрелке . . Обычный ток течет через клемму (+) батареи через цепь, возвращаясь к клемме (-). Обычное повышение тока-напряжения соответствует отслеживанию предполагаемого тока от (-) до (+) через любые источники напряжения.

Ниже приводится еще один пример предыдущей схемы. Сопротивление вокруг контура 1 составляет 6 Ом, вокруг контура 2:3 Ом. Общее сопротивление обоих контуров составляет 2 Ом. Обратите внимание на коэффициенты I ₁ и я ₂ в паре уравнений. Отслеживание предполагаемого тока петли 1 по часовой стрелке через B ₁ от (+) до (-) соответствует увеличению напряжения электронного тока.

Таким образом, знак 28 В положительный. Цикл 2 против часовой стрелки предполагал токи от (-) до (+) через B ₂ , падение напряжения. Таким образом, знак B ₂ отрицательно, -7 во 2-м уравнении сетки. Опять же, на резисторах нет маркировки полярности. Они также не фигурируют в уравнениях.

Токи I ₁ =5 А, а I ₂ =1 A положительны. Оба они текут в направлении петель по часовой стрелке. Это сопоставимо с предыдущими результатами.

Резюме:

• Модифицированный метод тока сетки позволяет избежать необходимости определять знаки коэффициентов уравнения путем рисования всех токов сетки по часовой стрелке для обычного протекания тока.
• Однако нам необходимо определить знак любых источников напряжения в контуре. Источник напряжения является положительным, если предполагаемый непрерывный ток протекает с батареей (источником). Знак отрицательный, если предполагаемый непрерывный ток течет по батарее.
• Подробнее см. в правилах выше.

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

• Таблица для анализа токов сети постоянного тока