Метод ветвенных токов: пошаговое руководство по решению электрических сетей

Метод ветвенных токов — самый прямой метод анализа линейных электрических сетей. Назначая направления токам, текущим через каждую ветвь, и применяя Законы Кирхгофа, мы можем сформулировать систему одновременных уравнений, дающую каждый ток и, следовательно, каждое падение напряжения в цепи.

Решение методом ветвенных токов

Ниже приведен практический пример, проходящий через весь процесс.

Выбор узла

Первый шаг — выбрать опорный узел — соединение, где встречаются правая сторона R₁, верх R₂ и левая сторона R₃. Этот узел будет служить якорем для всех последующих уравнений.

В этом узле мы предварительно назначаем направления трем ветвенным токам, маркируя их I₁, I₂ и I₃. Эти направления спекулятивны; любая неверная giảза обнаружится как отрицательное значение в финальном решении.

Применение Закона Кирхгофа о токах (KCL)

KCL гласит, что алгебраическая сумма токов, входящих в узел и выходящих из него, должна быть нулем. Для нашего выбранного узла считаем входящие токи положительными, выходящие — отрицательными:

Маркировка всех падений напряжения

Далее назначаем полярности падения напряжения на каждом резисторе на основе предполагаемых направлений токов. Положительная полярность — где ток входит в резистор; отрицательная — где он выходит:

Полярности батарей остаются как указано их символами (короткий конец отрицательный, длинный — положительный). Допустимо, чтобы полярность резистора отличалась от полярности соседней батареи — пока полярность резистора отражает предполагаемое направление тока. Неверные предположения о токах проявятся как отрицательные решения, но величины все равно будут правильными.

Применение Закона Кирхгофа о напряжениях (KVL)

KVL требует, чтобы алгебраическая сумма всех изменений напряжения вокруг любой замкнутой петли была нулем. Обходим левую петлю против часовой стрелки, начиная с верхнего левого угла:

Суммируя вклады напряжений, получаем уравнение KVL для левой петли:

Поскольку напряжения на резисторах неизвестны на этом этапе, выражаем их как произведение соответствующих токов и сопротивлений (Закон Ома, E = IR). Подстановка известных значений резисторов упрощает уравнение:

Выполняем ту же процедуру для правой петли, получая второе уравнение KVL:

Выражая каждое напряжение на резисторе как произведение тока и сопротивления, получаем:

Решение для неизвестных

Теперь у нас три уравнения — одно KCL и два KVL — включающих три неизвестных тока I₁, I₂ и I₃:

Перегруппировка уравнений для выноса констант в правую часть упрощает решение:

Решение этой системы дает:

Таким образом, I₁ = 5 А, I₂ = 4 А и I₃ = –1 А. Отрицательное значение указывает, что фактическое направление I₃ противоположно нашему начальному предположению. Можем скорректировать диаграмму соответственно:

Перерисовка цепи

Обновленная диаграмма показывает ток, текущий против ориентации второй батареи, потому что более высокое напряжение первой батареи загоняет электроны обратно через эту ветвь. Этот результат демонстрирует, что более сильная батарея не всегда доминирует; относительные напряжения и значения резисторов совместно определяют конечные направления токов.

Расчет падения напряжения на всех резисторах

Зная величины токов, вычисляем падение напряжения на каждом резисторе по закону Ома:

Анализ сети с помощью SPICE

Для подтверждения наших аналитических результатов смоделируем цепь в SPICE. Следующий нетлист демонстрирует настройку:

network analysis example
v1 1 0
v2 3 0 dc 7
r1 1 2 4
r2 2 0 2
r3 2 3 1
.dc v1 28 28 1
.print dc v(1,2) v(2,0) v(2,3)
.end
v1 v(1,2) v(2) v(2,3)
2.800E+01 2.000E+01 8.000E+00 1.000E+00

Вывод SPICE подтверждает падения напряжения: 20 В на R₁, 8 В на R₂ и 1 В на R₃. Все значения положительны, указывая, что нумерация узлов соответствует полярностям, полученным аналитически.

ОБЗОР:

• Выберите узел и предположите направления ветвенных токов.
• Напишите уравнение KCL для этого узла.
• Назначьте полярности падений напряжения на резисторах на основе предполагаемых токов.
• Напишите уравнения KVL для каждой независимой петли, заменяя напряжения на резисторах на IR.
• Решите получившуюся систему одновременных уравнений для неизвестных токов.
• Если какое-либо решение тока отрицательное, предполагаемое направление было неверным; переверните стрелку и пересчитайте полярность.
• Вычислите все падения напряжения на резисторах через E = IR.

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

• Рабочий лист: Анализ ветвенных токов постоянного тока