Освоение метода узловых напряжений для точного анализа цепей

Метод узловых напряжений решает неизвестные напряжения в узлах цепи через систему уравнений KCL. Этот анализ выглядит необычно, потому что он включает замену источников напряжения на эквивалентные источники тока. Также значения резисторов в Омах заменяются эквивалентными проводимостями в сименсах, G = 1/R. Сименс (S) — единица проводимости, заменившая мхо. В любом случае S = Ω⁻¹. И S = мхо (устаревшее).

Метод расчета узловых напряжений

Начинаем с цепи, имеющей обычные источники напряжения. Общий узел E₀ выбирается как опорная точка. Узловые напряжения E₁ и E₂ вычисляются относительно этой точки.

Замена источников напряжения и связанных последовательных резисторов на эквивалентные источники тока и параллельные резисторы дает модифицированную схему. Подставляем проводимости резисторов в сименсах вместо сопротивлений в Омах.

I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0.5 S
G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0.25 S
G3 = 1/R3 = 1/2.5 Ω = 0.4 S
G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0.2 S
G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1.0 S

Параллельные проводимости (резисторы) могут быть объединены сложением проводимостей. Хотя мы не будем перерисовывать схему. Схема готова для применения метода узловых напряжений.

GA = G1 + G2 = 0.5 S + 0.25 S = 0.75 S
GB = G4 + G5 = 0.2 S + 1 S = 1.2 S

Выводя общий метод узловых напряжений, пишем пару уравнений KCL в терминах неизвестных узловых напряжений V₁ и V₂ на этот раз. Мы делаем это, чтобы проиллюстрировать паттерн для записи уравнений по осмотру.

GA·E1 + G3(E1 - E2) = I1  (1)
GB·E2 - G3(E1 - E2) = I2  (2)
(GA + G3)E1 - G3·E2 = I1  (1)
-G3·E1 + (GB + G3)E2 = I2  (2)

Коэффициенты последней пары уравнений выше перегруппированы для демонстрации паттерна. Сумма проводимостей, подключенных к первому узлу, является положительным коэффициентом первого напряжения в уравнении (1). Сумма проводимостей, подключенных ко второму узлу, — положительный коэффициент второго напряжения в уравнении (2). Остальные коэффициенты отрицательны, представляя проводимости между узлами. Для обоих уравнений правая часть равна соответствующему источнику тока, подключенному к узлу. Этот паттерн позволяет быстро писать уравнения по осмотру. Это ведет к набору правил для метода узловых напряжений.

Правила метода узловых напряжений:

• Преобразуйте источники напряжения в последовательности с резистором в эквивалентные источники тока с резистором в параллели.
• Замените значения резисторов на проводимости.
• Выберите опорный узел (E₀).
• Назначьте неизвестные напряжения (E₁)(E₂) ... (E_N) остальным узлам.
• Напишите уравнение KCL для каждого узла 1,2, ... N. Положительный коэффициент первого напряжения в первом уравнении — сумма проводимостей, подключенных к узлу. Коэффициент второго напряжения во втором уравнении — сумма проводимостей, подключенных к тому узлу. Повторите для коэффициента третьего напряжения, третьего уравнения и других уравнений. Эти коэффициенты лежат на диагонали.
• Все остальные коэффициенты для всех уравнений отрицательны, представляя проводимости между узлами. В первом уравнении второй коэффициент — проводимость от узла 1 к узлу 2, третий — от узла 1 к узлу 3. Заполните отрицательные коэффициенты для других уравнений.
• Правая часть уравнений — источник тока, подключенный к соответствующим узлам.
• Решите систему уравнений для неизвестных узловых напряжений.

Пример метода узловых напряжений

Пример: Составьте уравнения и решите для узловых напряжений, используя числовые значения на вышеприведенной фигуре.

Решение:

(0.5+0.25+0.4)E1 - (0.4)E2 = 5
-(0.4)E1 + (0.4+0.2+1.0)E2 = -4
(1.15)E1 - (0.4)E2 = 5
-(0.4)E1 + (1.6)E2 = -4
E1 = 3.8095
E2 = -1.5476

Решение двух уравнений можно выполнить калькулятором или с октавой (не показано). Решение верифицировано с SPICE на основе исходной схемы с источниками напряжения. Хотя схема с источниками тока также могла быть смоделирована.

V1 11 0 DC 10
V2 22 0 DC -4
r1 11 1 2
r2 1 0 4
r3 1 2 2.5
r4 2 0 5
r5 2 22 1
.DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1
.print DC V(1) V(2)
.end

v(1) v(2)
3.809524e+00 -1.547619e+00

Еще один пример. У этого три узла. Мы не перечисляем проводимости на схеме. Однако G₁ = 1/R₁, и т.д.

Есть три узла для записи уравнений по осмотру. Обратите внимание, что коэффициенты положительны для уравнения (1) E₁, уравнения (2) E₂ и уравнения (3) E₃. Это суммы всех проводимостей, подключенных к узлам. Все остальные коэффициенты отрицательны, представляя проводимость между узлами. Правая часть уравнений — ассоциированный источник тока, 0.136092 А для единственного источника тока в узле 1. Другие уравнения имеют ноль в правой части из-за отсутствия источников тока. Мы слишком ленивы, чтобы рассчитать проводимости для резисторов на диаграмме. Таким образом, индексированные G' — это коэффициенты.

(G1 + G2)E1 - G1·E2 - G2·E3 = 0.136092
-G1·E1 + (G1 + G3 + G4)E2 - G3·E3 = 0
-G2·E1 - G3·E2 + (G2 + G3 + G5)E3 = 0

Мы настолько ленивы, что вводим обратные сопротивления и суммы обратных сопротивлений в октавианскую матрицу «A», позволяя октаве вычислить матрицу проводимостей после «A=». Начальная строка ввода была настолько длинной, что была разбита на три ряда. Это отличается от предыдущих примеров. Введенная матрица «A» ограничена начальными и конечными квадратными скобками. Элементы столбцов разделены пробелами. Ряды разделены «новой строкой». Запятые и точки с запятой не нужны как разделители. Хотя вектор токов в «b» разделен точкой с запятой для получения столбцового вектора токов.

octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
A =
0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
-0.0066667 0.0200000 -0.0100000
-0.0200000 -0.0100000 0.0340000

octave:13> b = [0.136092;0;0]
b =
0.13609
0.00000
0.00000

octave:14> x=A\b
x =
24.000
17.655
19.310

Обратите внимание, что диагональные коэффициенты матрицы «A» положительны, что все остальные коэффициенты отрицательны.

Решение как вектор напряжений в «x». E₁ = 24,000 В, E₂ = 17,655 В, E₃ = 19,310 В. Эти три напряжения сравнимы с предыдущими решениями метода токов петель и SPICE для проблемы несбалансированного моста. Это не совпадение, так как источник тока 0,13609 А был намеренно выбран для получения 24 В, использованного как источник напряжения в той задаче.

Резюме

• Данная сеть проводимостей и источников тока, метод узловых напряжений решает неизвестные узловые напряжения из уравнений KCL.
• См. правила выше для деталей записи уравнений по осмотру.
• Единица проводимости G — сименс S. Проводимость — обратная величина сопротивления: G = 1/R

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист: Точные диодные цепи
•  Рабочий лист: Законы Кирхгофа