Арифметика с научной записью

Преимущества научного обозначения не ограничиваются простотой написания и выражением точности. Такие обозначения также хорошо подходят для математических задач умножения и деления. Допустим, мы хотели узнать, сколько электронов пройдет мимо точки в цепи, по которой проходит электрический ток 1 А за 25 секунд.

Если мы знаем количество электронов в цепи в секунду (что мы и делаем), то все, что нам нужно сделать, это умножить это количество на количество секунд (25), чтобы получить ответ о количестве электронов:

(6 250 000 000 000 000 000 электронов в секунду) x (25 секунд) =156 250 000 000 000 000 000 электронов, проходящих за 25 секунд

Используя научную нотацию, мы можем записать задачу следующим образом:

(6,25 x 10 ¹⁸ электронов в секунду) x (25 секунд)

Если мы возьмем «6,25» и умножим его на 25, получим 156,25. Итак, ответ можно записать так:

156,25 x 10 ¹⁸ электроны

Однако, если мы хотим придерживаться стандартного соглашения для научных обозначений, мы должны представить значащие цифры как число от 1 до 10. В этом случае мы бы сказали «1,5625», умноженное на некоторую степень десяти. Чтобы получить 1,5625 из 156,25, мы должны пропустить десятичную запятую на два разряда слева.

Чтобы компенсировать это без изменения значения числа, мы должны увеличить нашу степень на две ступени (10 в 20-й степени вместо 10 в 18-й степени):

1,5625 x 10 ²⁰ электроны

Что, если бы мы хотели посмотреть, сколько электронов пройдет за 3600 секунд (1 час)? Чтобы упростить нашу работу, мы могли бы также записать время в научных обозначениях:

(6,25 x 10 ¹⁸ электронов в секунду) x (3,6 x 10 ³ секунд)

Чтобы произвести умножение, мы должны взять два значащих набора цифр (6,25 и 3,6) и умножить их вместе; и нам нужно взять две степени десяти и умножить их вместе. Умножая 6,25 на 3,6, получаем 22,5. Принимая 10 ¹⁸ раз 10 ³ , получаем 10 ²¹ (показатели с общими базовыми числами складываются). Итак, ответ:

22,5 x 10 ²¹ электроны

. . . или точнее. . .

2,25 x 10 ²² электроны

Чтобы проиллюстрировать, как деление работает с научными обозначениями, мы могли бы решить эту последнюю задачу «задом наперед», чтобы выяснить, сколько времени потребуется, чтобы пройти мимо такого количества электронов при токе в 1 ампер:

(2,25 x 10 ²² электронов) / (6,25 x 10 ¹⁸ электронов в секунду)

Так же, как и в умножении, мы можем обрабатывать значащие цифры и степень десяти в отдельные шаги (помните, что вы вычитаете показатели степени разделенной степени десяти):

(2,25 / 6,25) x (10 ²² / 10 ¹⁸ )

И ответ:0,36 x 10 ⁴ , или 3,6 x 10 ³ , секунды. Вы можете видеть, что мы пришли к одинаковому количеству времени (3600 секунд). Теперь вам может быть интересно, в чем смысл всего этого, когда у нас есть электронные калькуляторы, которые могут обрабатывать математику автоматически.

Что ж, во времена, когда ученые и инженеры использовали аналоговые компьютеры «логарифмической линейки», эти методы были незаменимы. «Трудная» арифметика (работа со значащими цифрами) будет выполняться с помощью логарифмической линейки, в то время как степени десяти могут быть вычислены без какой-либо помощи вообще, представляя собой не что иное, как простое сложение и вычитание.

ОБЗОР:

• Значащие цифры отражают реальную точность числа.
• Научная запись - это «сокращенный» метод представления очень больших и очень маленьких чисел в удобной для понимания форме.
• При умножении двух чисел в экспоненциальном представлении вы можете умножить две значащие цифры и получить степень десяти, добавив экспоненты.
• При делении двух чисел в экспоненциальном представлении вы можете разделить две значащие цифры и получить степень десяти, вычитая экспоненты.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:

• Рабочий лист научных обозначений и метрических префиксов